Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari hasil darab titik a·b bagi a = (7, −6, 7) dan b = (7, 3, −7).
a = (7, −6, 7)b = (7, 3, −7)
a·b =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−2, −4, 0) dan b = (0, 1, 1) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂y.
a = (−2, −4, 0)b = (0, 1, 1)n̂z > 0
n̂y =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 7 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 3 m dari A. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.
L = 10 mP = 20 kN pada 7 mM = 60 kN·m (lawan arah jam) pada 3 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 4 m dari A, condong pada 30° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 9 m dari A. Cari magnitud daya tindak balas jumlah RA pada pin A.
L = 10 mP = 65 kN pada 4 m, θ = 30°Q = 25 kN pada 9 m
RA = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 6 mtinggi = 3 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 60 kNbeban mengufuk = 30 kN →
FAB = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 5 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3.6 m dan tali ikat mengufuk DE 1.2 m di atas tanah. Beban menegak 6 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.5 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.
P = 6 kNAB = 5 mketinggian C = 3.6 mketinggian DE = 1.2 mjarak mengufuk A ke K = 1.5 m
T = kN
8.Rangka & mesinSukar
Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 3 m, dan B setinggi 2.5 m dan 1.8 m di sebelah kanan A. Anggota AB membawa beban menegak 6 kN pada K, 0.9 m (secara mengufuk) dari A, dan beban mengufuk 10 kN ke kanan bertindak pada B pada anggota AB. Cari saiz tindak balas mengufuk Ax di A.
P = 6 kNQ = 10 kNL = 3 mH = 2.5 mjarak mengufuk A ke B = 1.8 mjarak mengufuk A ke K = 0.9 m
Ax = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 4 m dari A. Cari momen lentur MA pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 4 mP = 70 kN pada 4 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 4 m
MA = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.
60 kN @ 0 m45 kN @ 12 m20 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 240 mm dan setebal 22 mm, kedalaman keseluruhan 380 mm dan web setebal 8 mm. Cari momen luas keduanya Ix pada paksi sentroid mengufuk x.
B = 240 mmH = 380 mmtf = 22 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 50 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σatas pada tepi atas.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang
(a × b)x = aybz − azby = (−4)·1 − 0·1 = −4
(a × b)y = azbx − axbz = 0·0 − (−2)·1 = 2
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·1 − (−4)·0 = −2
Normalkan
Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·10 − 20·7 + 60 = 0
RB = 80/10 = 8 kN
Keseimbangan menegak
RA = 20 − 8 = 12 kN
Jawapan
RB = 8 kN
Tindak balas negatif bertindak ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 60.44 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Komponen P
Pv = 65·sin 30° = 32.5 kN
Ph = 65·cos 30° = 56.29 kN
Tindak balas
ΣMA = 0: RB·10 = 32.5·4 + 25·9 → RB = 35.5 kN
Ay = 32.5 + 25 − 35.5 = 22 kN
Ax = Ph = 56.29 kN
Paduan pada A
RA = √(56.29² + 22²) = 60.44 kN
Jawapan
RA = 60.44 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota CG
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 + 30·3 → Cy = 35 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 35 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 3/3.606 = 0.8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −25/0.8321 = −30.05 kN
Jawapan
FAB = −30.05 kN (mampatan)
7.Rangka & mesin
Jawapan: T = 1.875 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Seluruh rangka: momen pada A
By = 6·1.5/5 = 1.8 kN
Kaki BC: momen pada C
1.8·2.5 = T·2.4
T = 1.875 kN
Jawapan
T = 1.875 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: Ax = 5.136 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Arah BC
BC = 2.773 m, cos = 0.4327, sin = 0.9015
Seluruh rangka: momen pada A
FBC·0.9015·3 = 6·0.9 + 10·2.5
FBC = 11.24 kN
Imbangan mengufuk
Ax + 10 − 11.24·0.4327 = 0
Ax = −5.136 kN → |Ax| = 5.136 kN
Jawapan
Ax = 5.136 kN
Tanda tolak bermaksud Ax menuju ke kiri.
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: MA = −304 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Simpan bahagian hujung bebas
P: −70·4 = −280 kN·m
w: −3·4²/2 = −24 kN·m
MA = −280 − 24 = −304 kN·m
Jawapan
MA = −304 kN·m
Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: E (x = 8 m)
Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).
Tindak balas penyokong
Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.
R1 = 63.33 kN, R2 = 61.67 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.
MA = 0, MB = −120, MC = −113.3, MD = −146.7, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0
Jawapan
Tanda E: ME = −180 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 364.1 × 10⁶ mm⁴
Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.
Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi
Kedua-dua potongan bersama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan berkongsi paksi x.
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Bahagikan kepada dua segi empat tepat
Ukur setiap y dari tepi bawah.
bebibir: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 280 + 25/2 = 292.5 mm