Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari hasil darab titik a·b bagi a = (7, −6, −5) dan b = (−5, −6, −7).
a = (7, −6, −5)b = (−5, −6, −7)
a·b =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (5, 5, −5), b = (−1, −1, 3) dan c = (5, −3, 0).
a = (5, 5, −5)b = (−1, −1, 3)c = (5, −3, 0)
V =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.
L = 4 mP1 = 35 kN pada 2 mP2 = 10 kN pada 2.5 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.
L = 10 mP = 20 kN pada 6 mw = 2 kN/m dari 7 hingga 9 m
RA = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 8 mtinggi = 2 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 15 kN
FAC = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
B: 40 kN ↓D: 30 kN ↓H: 15 kN ←
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG
7.Rangka & mesinSederhana
Dalam pengapit togol yang ditunjukkan, dua penghubung AB dan BC yang sama dipin bersama di B, dan setiap satu membuat sudut 15° dengan garis AC. Daya ke bawah 200 N dikenakan pada B. Penggelongsor C menekan bahan kerja. Dengan mengabaikan geseran dan berat, cari daya pengapitan mengufuk Q.
F = 200 Nθ = 15°
Q = N
8.Rangka & mesinSukar
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4.8 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 2 m, dan diikat oleh bar mengufuk DE pada 1.2 m. Daya mengufuk 6 kN ke kanan bertindak pada C. Cari tegangan T dalam tali ikat.
P = 6 kNAB = 4.8 mketinggian C = 2 mketinggian DE = 1.2 m
T = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 0.5 m dari A. Cari momen lentur MA pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 3 mP = 20 kN pada 0.5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 3 m
MA = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari jarak x0 dari A ke keratan di mana momen lentur paling besar.
L = 5 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 4 m
x0 = m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 160 mm dan diameter dalam d = 140 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.
D = 160 mmd = 140 mm
r = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 130 mm dan setebal 20 mm, kedalaman keseluruhan 320 mm dan web setebal 8 mm. Ia menanggung momen lentur 60 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σj pada simpang antara web dengan bebibir atas.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−1)·0 − 3·(−3) = 9
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·5 − (−1)·0 = 15
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·(−3) − (−1)·5 = 8
Hasil darab titik dengan a
a·(b × c) = 5·9 + 5·15 + (−5)·8 = 80
V = |80| = 80
Jawapan
V = 80
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 21.25 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Gambar rajah jasad bebas
Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 10·2.5
RB = 95/4 = 23.75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 23.75 = 21.25 kN
Jawapan
RA = 21.25 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 8.8 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Gambar rajah jasad bebas
Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, bertindak pada x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6 + 2·2·8
RB = 152/10 = 15.2 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 15.2 = 8.8 kN
Jawapan
RA = 8.8 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAC = 14.06 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·8 = 15·3 → Cy = 5.625 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5.625 = 9.375 kN
Sambungan C
Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.
sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).
Keseimbangan pin B
2·Flink·sin 15° = 200
Flink = 386.4 N
Daya pengapitan
Q = Flink·cos 15° = 200/(2·tan 15°) = 373.2 N
Jawapan
Q = 373.2 N
Nisbah daya Q/F = 1.866 bertambah tanpa had apabila penghubung diluruskan.
8.Rangka & mesin
Jawapan: T = 7.5 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Seluruh rangka: momen pada A
By·4.8 = 6·2
By = 2.5 kN
Kaki BC: momen pada C
2.5·2.4 = T·0.8
T = 7.5 kN
Jawapan
T = 7.5 kN
T positif bermaksud tali ikat dalam tegangan, seperti yang dianggap.
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: MA = −64 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Simpan bahagian hujung bebas
P: −20·0.5 = −10 kN·m
w: −12·3²/2 = −54 kN·m
MA = −10 − 54 = −64 kN·m
Jawapan
MA = −64 kN·m
Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: x0 = 2.4 m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·4·2
RB = 32/5 = 6.4 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 6.4 = 9.6 kN
Daya ricih sifar
Daya ricih bermula pada RA, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 9.6/4 = 2.4 m
Jawapan
x0 = 2.4 m
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: r = 53.15 mm
Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.
Luas bersih dan momen luas kedua
A = π(D² − d²)/4 = 4712 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.331 × 10⁷ mm⁴
Jejari legaran
r = √(I/A) = √(1.331 × 10⁷/4712) = 53.15 mm
Jawapan
r = 53.15 mm
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: σj = 63.73 MPa
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi
Kedua-dua potongan bersama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan berkongsi paksi x.