Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari sudut θ antara vektor a = (−4, −6, 5) dan b = (−6, −2, −1), dalam darjah.
a = (−4, −6, 5)b = (−6, −2, −1)
θ = °
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−3, −3, 4), B(−3, 1, −1) dan C(4, 0, −1). Koordinat dalam meter.
A(−3, −3, 4)B(−3, 1, −1)C(4, 0, −1)
A = m²
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.
L = 6 mP1 = 60 kN pada 1 mP2 = 35 kN pada 1.5 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RA.
L = 4 mP = 15 kN pada 1.5 mw = 10 kN/m dari 1 hingga 4 m
RA = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 15 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 4 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 20 kNbeban mengufuk = 5 kN →
FAB = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Engkol loceng yang ditunjukkan berputar pada pin O. Daya menegak 200 N pada A (120 mm dari O) diimbangi oleh daya mengufuk pada B (100 mm di atas O). Cari magnitud tindak balas pin FO.
F = 200 NOA = 120 mmOB = 100 mm
FO = N
8.Rangka & mesinSukar
Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 6 m, dan B setinggi 3 m dan 2.7 m di sebelah kanan A. Anggota AB membawa beban menegak 12 kN pada K, 1.35 m (secara mengufuk) dari A, dan beban mengufuk 8 kN ke kanan bertindak pada B pada anggota AB. Cari saiz tindak balas mengufuk Ax di A.
P = 12 kNQ = 8 kNL = 6 mH = 3 mjarak mengufuk A ke B = 2.7 mjarak mengufuk A ke K = 1.35 m
Ax = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 4 m dari A. Cari momen lentur Mx pada keratan x = 1.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 4 mP = 75 kN pada 4 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.
L = 5 mP = 35 kN pada 3 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 m
Mmax = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 110 mm dan setebal 12 mm, kedalaman keseluruhan 480 mm dan web setebal 6 mm. Cari momen luas keduanya Ix pada paksi sentroid mengufuk x.
B = 110 mmH = 480 mmtf = 12 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 40 MPa dalam tegangan dan 100 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar Mallow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil darab titik
a·b = (−4)·(−6) + (−6)·(−2) + 5·(−1) = 31
Magnitud
|a| = √((−4)² + (−6)² + 5²) = 8.775
|b| = √((−6)² + (−2)² + (−1)²) = 6.403
Sudut
cos θ = 31/(8.775·6.403) = 0.5517
θ = arccos(0.5517) = 56.51°
Jawapan
θ = 56.51°
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: A = 22.55 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Gambar rajah jasad bebas
Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 35·1.5
RB = 112.5/6 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 18.75 = 76.25 kN
Jawapan
RA = 76.25 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 20.63 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Gambar rajah jasad bebas
Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1.5 + 10·3·2.5
RB = 97.5/4 = 24.38 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 24.38 = 20.63 kN
Jawapan
RA = 20.63 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAB = −10.06 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·2 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 6 = 9 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9/0.8944 = −10.06 kN
Jawapan
FAB = −10.06 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAB = −13.98 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 + 5·2 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 7.5 = 12.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 2/2.236 = 0.8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −12.5/0.8944 = −13.98 kN
Jawapan
FAB = −13.98 kN (mampatan)
7.Rangka & mesin
Jawapan: FO = 312.4 N
Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).
Daya pada B
Q = 200·120/100 = 240 N
Tindak balas pin
Ox = 240 N, Oy = 200 N
FO = √(240² + 200²) = 312.4 N
Jawapan
FO = 312.4 N
8.Rangka & mesin
Jawapan: Ax = 0.63 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Arah BC
BC = 4.46 m, cos = 0.7399, sin = 0.6727
Seluruh rangka: momen pada A
FBC·0.6727·6 = 12·1.35 + 8·3
FBC = 9.96 kN
Imbangan mengufuk
Ax + 8 − 9.96·0.7399 = 0
Ax = −0.63 kN → |Ax| = 0.63 kN
Jawapan
Ax = 0.63 kN
Tanda tolak bermaksud Ax menuju ke kiri.
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = −225 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Simpan bahagian hujung bebas
P: −75·2.5 = −187.5 kN·m
w: −12·2.5²/2 = −37.5 kN·m
Mx = −187.5 − 37.5 = −225 kN·m
Jawapan
Mx = −225 kN·m
Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 60 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·3 + 6·5·2.5
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 36 = 29 kN
Di manakah V = 0?
V(3⁻) = RA − w·3 = 11 kN
V(3⁺) = 11 − 35 = −24 kN
Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.
Momen maksimum
Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 29·3 − 6·3²/2 = 60 kN·m
Jawapan
Mmax = 60 kN·m
Ia berlaku pada x = 3 m dari A.
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 192 × 10⁶ mm⁴
Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.
Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi
Kedua-dua potongan bersama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan berkongsi paksi x.
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.