Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Daya malar F = (20, −5, 15) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(−3, 4, −2) ke titik B(−4, −5, 3). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.
F = (20, −5, 15) NA(−3, 4, −2) mB(−4, −5, 3) m
W = J
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−2, −3, 4) dan b = (3, 0, −2) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂y.
a = (−2, −3, 4)b = (3, 0, −2)n̂z > 0
n̂y =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 1 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 4.5 m dari A. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.
L = 5 mP = 50 kN pada 1 mM = 15 kN·m (lawan arah jam) pada 4.5 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 20 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 3.5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.
L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 80 kN pada 3.5 m
MA = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
B: 25 kN ↓D: 30 kN ↓F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 4 m, dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban 8 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.
P = 8 kNAB = 4 mketinggian C = 4 mketinggian DE = 1 m
C = kN
8.Rangka & mesinSukar
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4.8 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 3 m, dan diikat oleh bar mengufuk DE pada 0.8 m. Daya mengufuk 6 kN ke kanan bertindak pada C. Cari tegangan T dalam tali ikat.
P = 6 kNAB = 4.8 mketinggian C = 3 mketinggian DE = 0.8 m
T = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M0 = 45 kN·m pada x = 2.5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur Mx sejurus di sebelah kiri pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 6 mM0 = 45 kN·m ikut arah jam, pada 2.5 m
Mx = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.
L = 4 mw = 20 kN/m dari 1 hingga 4 m
Mmax = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 280 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 100 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari ketinggian ȳ sentroid di atas tepi bawah.
b = 280 mmh = 100 mmt = 18 mm
ȳ = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 140 × 16 mm, web setinggi 170 mm dan setebal 10 mm, dan bebibir bawah 200 × 14 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya Ix pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Sesaran
d = B − A = (−4, −5, 3) − (−3, 4, −2) = (−1, −9, 5) m
Kerja
W = F·d = 20·(−1) + (−5)·(−9) + 15·5 = 100 J
Jawapan
W = 100 J
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: n̂y = 0.5946
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang
(a × b)x = aybz − azby = (−3)·(−2) − 4·0 = 6
(a × b)y = azbx − axbz = 4·3 − (−2)·(−2) = 8
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·0 − (−3)·3 = 9
Normalkan
Komponen-z bagi a × b sudah positif.
|a × b| = √(6² + 8² + 9²) = 13.45
n̂ = (6, 8, 9)/13.45 = (0.446, 0.5946, 0.669)
n̂y = 0.5946
Jawapan
n̂y = 0.5946
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RB = 7 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·5 − 50·1 + 15 = 0
RB = 35/5 = 7 kN
Keseimbangan menegak
RA = 50 − 7 = 43 kN
Jawapan
RB = 7 kN
Tindak balas negatif bertindak ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: MA = 446.7 kN·m
Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.
Daya paduan beban segi tiga
W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m
Momen pada dinding
MA = W·x̄ + P·a = 50·3.333 + 80·3.5 = 446.7 kN·m
Jawapan
MA = 446.7 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota CG
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Daya tali ikat daripada kaki BC
By = 4 kN
T = 4·2/3 = 2.667 kN
Komponen daya pin pada BC
Cx = T = 2.667 kN, Cy = −By = −4 kN
Magnitud
C = √(2.667² + 4²) = 4.807 kN
Jawapan
C = 4.807 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: T = 4.091 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Seluruh rangka: momen pada A
By·4.8 = 6·3
By = 3.75 kN
Kaki BC: momen pada C
3.75·2.4 = T·2.2
T = 4.091 kN
Jawapan
T = 4.091 kN
T positif bermaksud tali ikat dalam tegangan, seperti yang dianggap.
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = −18.75 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.
Tindak balas penyokong
Momen pada A, lawan arah jam positif: RB·L − M0 = 0. Keseimbangan menegak: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 45/6 = 7.5 kN (ke atas)
RA = −RB = −7.5 kN (ke bawah)
Keratan sejurus di sebelah kiri pasangan daya
Bahagian kiri hanya mengandungi RA.
Mx = RA·a = −7.5·2.5 = −18.75 kN·m
Jawapan
Mx = −18.75 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 35.16 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·3·2.5
RB = 150/4 = 37.5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 37.5 = 22.5 kN
Daya ricih sifar
Daya ricih bermula pada RA, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Pecahkan kepada segi empat tepat
Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.
bes: A1 = 280·18 = 5040 mm², y1 = 9 mm
dua kaki: A2 = 2·18·82 = 2952 mm², y2 = 18 + 82/2 = 59 mm
Sentroid
ȳ = (5040·9 + 2952·59)/7992 = 27.47 mm
Jawapan
ȳ = 27.47 mm
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 46.9 × 10⁶ mm⁴
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.