Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (6, 3, 2) pada b = (−1, 3, 6), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (6, 3, 2)b = (−1, 3, 6)

comp_b a =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Bagi a = (−6, −5, 3) dan b = (2, 0, −6), cari komponen-z (a × b)_z hasil darab silang a × b.

a = (−6, −5, 3)b = (2, 0, −6)

(a × b)_z =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 2.5 m dari A dan pasangan daya ikut arah jam M pada 1.5 m dari A. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

L = 5 mP = 75 kN pada 2.5 mM = 40 kN·m (ikut arah jam) pada 1.5 m

R_B = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 6 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 3 m dari A dan beban teragih seragam w dari 3 m hingga hujung bebas pada 8 m. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 6 mAC = 8 mP = 60 kN pada 3 mw = 10 kN/m dari 3 hingga 8 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 3 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 50 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 2 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 10 kNbeban mengufuk = 5 kN →

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 5 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2.5 m dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban menegak 5 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.5 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 5 kNAB = 5 mketinggian C = 2.5 mketinggian DE = 1 mjarak mengufuk A ke K = 1.5 m

T = kN

8.Rangka & mesinSukar

Bum seragam mengufuk AB berberat 1.5 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 4 m di atas A. Beban 4 kN tergantung pada B. Cari magnitud tindak balas pin A.

W = 4 kNW_b = 1.5 kNAB = 2 mAC = 4 m

A = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 6 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 6 m

V_x = kN

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mw = 6 kN/m dari 2 hingga 5 m

M_max = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan segi empat tepat berongga (kotak) mempunyai lebar luar B = 160 mm, tinggi luar H = 325 mm dan ketebalan dinding seragam t = 14 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

B = 160 mmH = 325 mmt = 14 mm

r = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 35 MPa dalam tegangan dan 150 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur sagging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 2.212

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 6·(−1) + 3·3 + 2·6 = 15

Panjang b

|b| = √((−1)² + 3² + 6²) = 6.782

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 15/6.782 = 2.212

Jawapan

comp_b a = 2.212

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)_z = 10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−6) − 3·0 = 30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·2 − (−6)·(−6) = −30

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·0 − (−5)·2 = 10

Komponen yang diminta

(a × b)_z = 10

Jawapan

(a × b)_z = 10

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 45.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 75·2.5 − 40 = 0

R_B = 227.5/5 = 45.5 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 75 − 45.5 = 29.5 kN

Jawapan

R_B = 45.5 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 34.17 kN

Daya paduan beban teragih

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5.5 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·3 + 50·5.5

R_B = 455/6 = 75.83 kN

R_A = 110 − 75.83 = 34.17 kN

Jawapan

R_A = 34.17 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 14.58 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·7 → C_y = 43.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 43.75 = 6.25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −43.75/0.9487 = −46.12 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46.12)·0.3162 = 14.58 kN

Jawapan

F_AC = 14.58 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −11.18 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·7 + 5·2 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 10 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0.8944 = −11.18 kN

Jawapan

F_BC = −11.18 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: T = 2.5 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y = 5·1.5/5 = 1.5 kN

Kaki BC: momen pada C

1.5·2.5 = T·1.5

T = 2.5 kN

Jawapan

T = 2.5 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: A = 2.491 kN

Tegangan kabel

T = (4 + 1.5/2)/0.8944 = 5.311 kN

Komponen di A

A_x = T·cos β = 2.375 kN

A_y = 4 + 1.5 − T·sin β = 0.75 kN

Magnitud

A = √(2.375² + 0.75²) = 2.491 kN

Jawapan

A = 2.491 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −10 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 6 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 20 − 5·6 = −10 kN

Jawapan

V_x = −10 kN

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 13.23 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, bertindak pada x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·3·3.5

R_B = 63/5 = 12.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 12.6 = 5.4 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 5.4/6 = 2.9 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 5.4·2.9 − 6·0.9²/2 = 13.23 kN·m

Jawapan

M_max = 13.23 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 115.1 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

b = 132 mm, h = 297 mm

A = BH − bh = 160·325 − 132·297 = 12796 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.695 × 10⁸ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(1.695 × 10⁸/12796) = 115.1 mm

Jawapan

r = 115.1 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 1.891 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (1500·127.5 + 1440·60)/2940 = 94.44 mm

tepi atas: c = 135 − 94.44 = 40.56 mm

Momen luas kedua

I = 100·15³/12 + 1500·33.06² + 12·120³/12 + 1440·34.44² = 5.104 × 10⁶ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Sagging: bahagian atas dalam mampatan, bahagian bawah dalam tegangan.

tepi atas: M = 150·5.104 × 10⁶/40.56 = 18.87 kN·m

tepi bawah: M = 35·5.104 × 10⁶/94.44 = 1.891 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 1.891 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 1.891 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics