Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (1, −2, −5) dan b = (−4, 7, −2).

a = (1, −2, −5)b = (−4, 7, −2)

a·b =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (2, −5, 2), b = (1, 5, −5) dan c = (5, 3, 0).

a = (2, −5, 2)b = (1, 5, −5)c = (5, 3, 0)

V =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 6 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 35 kN pada 1 mP₂ = 60 kN pada 10 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 10 mP = 25 kN pada 6 mw = 5 kN/m dari 5 hingga 10 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 35 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

F: 30 kN ↓F: 20 kN →G: 10 kN ↓H: 20 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

7.Rangka & mesinSederhana

Dalam pengapit togol yang ditunjukkan, dua penghubung AB dan BC yang sama dipin bersama di B, dan setiap satu membuat sudut 30° dengan garis AC. Daya ke bawah 300 N dikenakan pada B. Penggelongsor C menekan bahan kerja. Dengan mengabaikan geseran dan berat, cari daya pengapitan mengufuk Q.

F = 300 Nθ = 30°

Q = N

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 2 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 3.6 m, dan diikat oleh bar mengufuk DE pada 2 m. Daya mengufuk 5 kN ke kanan bertindak pada C. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 5 kNAB = 2 mketinggian C = 3.6 mketinggian DE = 2 m

T = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 7 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 5 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 10 kN pada 3 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 160 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 200 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari ketinggian ȳ sentroid di atas tepi bawah.

b = 160 mmh = 200 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 200 mm dan setebal 12 mm, kedalaman keseluruhan 340 mm dan web setebal 14 mm. Ia menanggung momen lentur 120 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur maksimum σ_max dalam keratan.

B = 200 mmH = 340 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = −8

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = 1·(−4) + (−2)·7 + (−5)·(−2) = (−4) + (−14) + 10 = −8

Jawapan

a·b = −8

Negatif: sudut antara vektor lebih daripada 90°.

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 111

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 5·0 − (−5)·3 = 15

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·5 − 1·0 = −25

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 1·3 − 5·5 = −22

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = 2·15 + (−5)·(−25) + 2·(−22) = 111

V = |111| = 111

Jawapan

V = 111

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = −10.83 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1 + 60·10

R_B = 635/6 = 105.8 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 35 + 60 − 105.8 = −10.83 kN

Jawapan

R_A = −10.83 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 16.25 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bertindak pada x̄ = 7.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·6 + 5·5·7.5

R_B = 337.5/10 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 33.75 = 16.25 kN

Jawapan

R_A = 16.25 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 13.13 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8.75 = 26.25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8.75/0.5547 = −15.77 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15.77)·0.8321 = 13.13 kN

Jawapan

F_AC = 13.13 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 39.38 kN (T), BC: 36.25 kN (T), CD: 36.25 kN (T), DE: 25.62 kN (T), FG: 39.38 kN (C), GH: 25.62 kN (C), AF: 32.29 kN (C), HE: 42.71 kN (C), BF: 4.167 kN (C), CG: 0, DH: 14.17 kN (T), BG: 5.208 kN (T), DG: 17.71 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: Q = 259.8 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Keseimbangan pin B

2·F_link·sin 30° = 300

F_link = 300 N

Daya pengapitan

Q = F_link·cos 30° = 300/(2·tan 30°) = 259.8 N

Jawapan

Q = 259.8 N

Nisbah daya Q/F = 0.866 bertambah tanpa had apabila penghubung diluruskan.

8.Rangka & mesin

Jawapan: T = 5.625 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y·2 = 5·3.6

B_y = 9 kN

Kaki BC: momen pada C

9·1 = T·1.6

T = 5.625 kN

Jawapan

T = 5.625 kN

T positif bermaksud tali ikat dalam tegangan, seperti yang dianggap.

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 17.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 7 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 20·7 − 5·7·3.5 = 17.5 kN·m

Jawapan

M_x = 17.5 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 10 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3 + 2·5·2.5

R_B = 55/5 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 11 = 9 kN

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 9·4 − 10·(4 − 3) − 2·4·2 = 10 kN·m

Jawapan

M_x = 10 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: ȳ = 74.59 mm

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 160·8 = 1280 mm², y₁ = 4 mm

dua kaki: A₂ = 2·8·192 = 3072 mm², y₂ = 8 + 192/2 = 104 mm

Sentroid

ȳ = (1280·4 + 3072·104)/4352 = 74.59 mm

Jawapan

ȳ = 74.59 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_max = 122.9 MPa

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 340 − 2·12 = 316 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·340³ − 186·316³)/12

I_x = 1.66 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 170 mm

σ = M·y/I = 1.2 × 10⁸·170/1.66 × 10⁸ = 122.9 MPa

Jawapan

σ_max = 122.9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics