Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|

Kaedah

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
  3. Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Kaedah

  1. Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
  2. Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
  3. Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
  2. Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
  4. Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban

Kaedah

  1. Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
  2. Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
  3. Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
  4. Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
xyzab

Cari nilai k supaya vektor a = (4, −1, −3) dan b = (6, 0, k) berserenjang.

a = (4, −1, −3)b = (6, 0, k)
k =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
xyzABC

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−4, 2, 4), B(3, 4, −3) dan C(3, −1, 0). Koordinat dalam meter.

A(−4, 2, 4)B(3, 4, −3)C(3, −1, 0)
A = m²
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1.5 m0.5 m4 m

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.

L = 6 mP1 = 20 kN pada 1.5 mP2 = 15 kN pada 2 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
w0​ = 20 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?1.5 m3.5 m

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 20 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 1.5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 10 kN pada 1.5 m
MA = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
ABCDEFGH40 kN40 kN40 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 40 kN ↓C: 40 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
ABCDEFGH35 kN20 kN15 kN30 kN25 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 35 kN ↓D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓H: 30 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1anggota AB
  2. 2anggota BC
  3. 3anggota CD
  4. 4anggota DE
  5. 5anggota FG
  6. 6anggota GH
  7. 7anggota AF
  8. 8anggota HE
  9. 9anggota BF
  10. 10anggota CG
  11. 11anggota DH
  12. 12anggota FC
  13. 13anggota HC
7.Rangka & mesinSederhana
15 kN0.6 m1.4 m0.6 mABCD

Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 0.6 m di bawah A. Beban 15 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.

P = 15 kNAD = 0.6 mAB = 2 mAC = 0.6 m
A = kN
8.Rangka & mesinSukar
2 kN3 kN5 m1.5 mABC

Bum seragam mengufuk AB berberat 3 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 1.5 m di atas A. Beban 2 kN tergantung pada B. Cari magnitud tindak balas pin A.

W = 2 kNWb = 3 kNAB = 5 mAC = 1.5 m
A = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
55 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

55 kN @ 6 m35 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.Daya ricih & momen lenturSukar
5 kN/m55 kN35 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

55 kN @ 0 m35 kN @ 12 m60 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
xD = 70d = 62dimensi dalam mm

Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 70 mm dan diameter dalam d = 62 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

D = 70 mmd = 62 mm
r = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
2002514012xM = 10 kN·mdimensi dalam mm

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 10 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σatas pada tepi atas.

bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 140 mmM = 10 kN·m
σatas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: k = 8

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik sama dengan sifar

a·b = 4·6 + (−1)·0 + (−3)·k = 0
24 + (−3)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −24/(−3) = 8

Jawapan

k = 8
2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 25.03 m²

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (7, 2, −7)
AC = C − A = (7, −3, −4)

Hasil darab silang

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 2·(−4) − (−7)·(−3) = −29
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−7)·7 − 7·(−4) = −21
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 7·(−3) − 2·7 = −35
|AB × AC| = √((−29)² + (−21)² + (−35)²) = 50.07

Luas segi tiga

A = ½·50.07 = 25.03 m²

Jawapan

A = 25.03 m²
3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: RB = 10 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

P1​ = 20 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1.5 m0.5 m4 m

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣMA = 0: RB·6 = 20·1.5 + 15·2
RB = 60/6 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 10 = 25 kN

Jawapan

RB = 10 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: MA = 181.7 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m

Momen pada dinding

MA = W·x̄ + P·a = 50·3.333 + 10·1.5 = 181.7 kN·m

Jawapan

MA = 181.7 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 100 kN (C), GH: 100 kN (C), AF: 98.99 kN (C), HE: 70.71 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 42.43 kN (T), HC: 70.71 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH
6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 31.25 kN (T), BC: 31.25 kN (T), CD: 43.75 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 62.5 kN (C), GH: 62.5 kN (C), AF: 79.55 kN (C), HE: 61.87 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 8.839 kN (T), HC: 8.839 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG
7.Rangka & mesin

Jawapan: A = 61.03 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya topang

FCD = 15·2/(0.7071·0.6) = 70.71 kN

Komponen di A

Ax = FCD·cos α = 50 kN (ke arah dinding)
Ay = 15 − FCD·sin α = −35 kN

Magnitud

A = √(50² + −35²) = 61.03 kN

Jawapan

A = 61.03 kN

Ay negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawapan: A = 11.76 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Tegangan kabel

T = (2 + 3/2)/0.2873 = 12.18 kN

Komponen di A

Ax = T·cos β = 11.67 kN
Ay = 2 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

Magnitud

A = √(11.67² + 1.5²) = 11.76 kN

Jawapan

A = 11.76 kN
9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 56.67 kN, R2 = 33.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = 113.3, MC = 156.7, MD = 200 kN·m, ME = 133.3, MF = 66.67, MG = 0

Jawapan

Tanda D: MD = 200 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: B (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R1 = 110 kN, R2 = 80 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −10, MD = 70, ME = 10, MF = −70, MG = 0

Jawapan

Tanda B: MB = −110 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 23.38 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

A = π(D² − d²)/4 = 829.4 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 453256 mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(453256/829.4) = 23.38 mm

Jawapan

r = 23.38 mm
12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σatas = 28.75 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 140 + 25/2 = 152.5 mm
web: Aw = 12·140 = 1680 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·152.5 + 1680·70)/6680 = 131.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 200·25³/12 + 5000·(152.5 − 131.8)² = 2.413 × 10⁶ mm⁴
web: 12·140³/12 + 1680·(70 − 131.8)² = 9.15 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.413 × 10⁶ + 9.15 × 10⁶ = 1.156 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 165 − 131.8 = 33.25 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·33.25/1.156 × 10⁷ = 28.75 MPa

Jawapan

σatas = 28.75 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics