Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (−3, 6, −4) dan b = (4, −2, 6), dalam darjah.

a = (−3, 6, −4)b = (4, −2, 6)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−1, 1, 4) dan b = (1, 4, −3) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-xnya n̂_x.

a = (−1, 1, 4)b = (1, 4, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 10 mP₁ = 10 kN pada 7 mP₂ = 15 kN pada 9 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 8 m dari A, condong pada 40° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 4 m dari A. Cari sudut α antara daya tindak balas jumlah pada pin A dengan garis mengufuk.

L = 10 mP = 75 kN pada 8 m, θ = 40°Q = 80 kN pada 4 m

α = °

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓F: 40 kN ↓G: 15 kN ↓H: 30 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 15 kNbeban mengufuk = 10 kN →

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 3.2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2 m dan tali ikat mengufuk DE 1.2 m di atas tanah. Beban menegak 4 kN bertindak pada kaki AC di K, 0.64 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 4 kNAB = 3.2 mketinggian C = 2 mketinggian DE = 1.2 mjarak mengufuk A ke K = 0.64 m

T = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4.5 m dan tali ikat mengufuk DE 1.8 m di atas tanah. Beban menegak 8 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.8 m (secara mengufuk) dari A. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 8 kNAB = 6 mketinggian C = 4.5 mketinggian DE = 1.8 mjarak mengufuk A ke K = 1.8 m

C = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

45 kN @ 2 m30 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 60 kN pada 2 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 200 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 140 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 180 × 20 mm, web setinggi 250 mm dan setebal 14 mm, dan bebibir bawah 260 × 10 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 180 × 20 mmweb: 14 × 250 mmbebibir bawah: 260 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 145.2 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−3)·4 + 6·(−2) + (−4)·6 = −48

Magnitud

|a| = √((−3)² + 6² + (−4)²) = 7.81

|b| = √(4² + (−2)² + 6²) = 7.483

Sudut

cos θ = −48/(7.81·7.483) = −0.8213

θ = arccos(−0.8213) = 145.2°

Jawapan

θ = 145.2°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_x = 0.9658

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−3) − 4·4 = −19

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·1 − (−1)·(−3) = 1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·4 − 1·1 = −5

Normalkan

Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−19)² + 1² + (−5)²) = 19.67

n̂ = −(−19, 1, −5)/19.67 = (0.9658, −0.05083, 0.2542)

n̂_x = 0.9658

Jawapan

n̂_x = 0.9658

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 4.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·7 + 15·9

R_B = 205/10 = 20.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 20.5 = 4.5 kN

Jawapan

R_A = 4.5 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: α = 45.09 °

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Komponen P

P_v = 75·sin 40° = 48.21 kN

P_h = 75·cos 40° = 57.45 kN

Tindak balas

ΣM_A = 0: R_B·10 = 48.21·8 + 80·4 → R_B = 70.57 kN

A_y = 48.21 + 80 − 70.57 = 57.64 kN

A_x = P_h = 57.45 kN

Arah pada A

α = atan(A_y/A_x) = atan(57.64/57.45) = 45.09°

Jawapan

α = 45.09°

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 90 kN (T), BC: 90 kN (T), CD: 63.33 kN (T), DE: 63.33 kN (T), FG: 86.67 kN (C), GH: 86.67 kN (C), AF: 112.5 kN (C), HE: 79.17 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 4.167 kN (C), HC: 29.17 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −1.118 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 + 10·4 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 14 = 1 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −1/0.8944 = −1.118 kN

Jawapan

F_AB = −1.118 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: T = 1.6 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y = 4·0.64/3.2 = 0.8 kN

Kaki BC: momen pada C

0.8·1.6 = T·0.8

T = 1.6 kN

Jawapan

T = 1.6 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: C = 3.588 kN

Tindak balas penyokong pada B

B_y = 8·1.8/6 = 2.4 kN

Daya tali ikat

T = 2.4·3/2.7 = 2.667 kN

Daya pin pada BC

C_x = 2.667 kN, C_y = −2.4 kN

C = √(2.667² + 2.4²) = 3.588 kN

Jawapan

C = 3.588 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 35 kN, R₂ = 40 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 35, M_C = 70 kN·m, M_D = 60, M_E = 50, M_F = 40, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 70 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 90 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2 + 6·5·2.5

R_B = 195/5 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 39 = 51 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 51·2 − 6·2·1 = 90 kN·m

Jawapan

M_x = 90 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 60.76 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (20000·100 − 2827·140)/(20000 − 2827) = 93.41 mm

Plat penuh pada ȳ

100·200³/12 + 20000·6.586² = 67.53 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·46.59² = 6.772 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 60.76 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 60.76 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 125.7 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 3600 mm², y = 270 mm

web: A = 3500 mm², y = 135 mm

bebibir bawah: A = 2600 mm², y = 5 mm

Sentroid

ȳ = (3600·270 + 3500·135 + 2600·5)/9700 = 150.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 180·20³/12 + 3600·119.7² = 5.174 × 10⁷ mm⁴

web: 14·250³/12 + 3500·15.26² = 1.904 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 260·10³/12 + 2600·145.3² = 5.488 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.174 × 10⁷ + 1.904 × 10⁷ + 5.488 × 10⁷

I_x = 1.257 × 10⁸ mm⁴ = 125.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 125.7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics