Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari unjuran skalar compb a bagi a = (−7, 2, 2) pada b = (2, 4, −1), iaitu komponen a dalam arah b.
a = (−7, 2, 2)b = (2, 4, −1)
compb a =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari luas A segi empat selari yang direntangi oleh a = (0, 6, 5) dan b = (−2, 2, −6).
a = (0, 6, 5)b = (−2, 2, −6)
A =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak RB.
L = 4 mP1 = 40 kN pada 1 mP2 = 45 kN pada 3 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 6 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 2 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.
L = 4 mw0 = 6 kN/mP = 25 kN pada 2 m
MA = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 20 kN
FAB = kN
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 4 mtinggi = 4 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 35 kNbeban mengufuk = 25 kN →
FAB = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 3.2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3.6 m dan tali ikat mengufuk DE 1.2 m di atas tanah. Beban menegak 12 kN bertindak pada kaki AC di K, 0.96 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.
P = 12 kNAB = 3.2 mketinggian C = 3.6 mketinggian DE = 1.2 mjarak mengufuk A ke K = 0.96 m
T = kN
8.Rangka & mesinSukar
Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 200 mm antara pin. Sambungan B berada 12 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 2500 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.
Q = 2500 NAB = BC = 200 mmh = 12 mm
F = N
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.
L = 10 mP1 = 65 kN pada 1 mP2 = 60 kN pada 2 m
Mmax = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.
60 kN @ 0 m15 kN @ 12 m35 kN @ 6 m8 kN/m, 2–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.
bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 30 kN·m. Cari tegasan lenturan σbawah pada tepi bawah.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil darab titik
a·b = (−7)·2 + 2·4 + 2·(−1) = −8
Panjang b
|b| = √(2² + 4² + (−1)²) = 4.583
Unjuran skalar
compb a = a·b/|b| = −8/4.583 = −1.746
Jawapan
compb a = −1.746
Negatif: a mempunyai komponen yang menghala melawan b.
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: A = 48.58
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang
(a × b)x = aybz − azby = 6·(−6) − 5·2 = −46
(a × b)y = azbx − axbz = 5·(−2) − 0·(−6) = −10
(a × b)z = axby − aybx = 0·2 − 6·(−2) = 12
Luas
A = |a × b| = √((−46)² + (−10)² + 12²) = 48.58
Jawapan
A = 48.58
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RB = 43.75 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Gambar rajah jasad bebas
Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1 + 45·3
RB = 175/4 = 43.75 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 43.75 = 41.25 kN
Jawapan
RB = 43.75 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: MA = 82 kN·m
Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.
Daya paduan beban segi tiga
W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
Momen pada dinding
MA = W·x̄ + P·a = 12·2.667 + 25·2 = 82 kN·m
Jawapan
MA = 82 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAB = −5.657 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −4/0.7071 = −5.657 kN
Jawapan
FAB = −5.657 kN (mampatan)
6.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: FAB = 20.31 kN
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 25·4 → Cy = 51.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 51.25 = −16.25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−16.25/0.8 = 20.31 kN
Jawapan
FAB = 20.31 kN (tegangan)
7.Rangka & mesin
Jawapan: T = 2.4 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Seluruh rangka: momen pada A
By = 12·0.96/3.2 = 3.6 kN
Kaki BC: momen pada C
3.6·1.6 = T·2.4
T = 2.4 kN
Jawapan
T = 2.4 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: F = 300.5 N
Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).
Sudut penghubung
sin θ = 12/200 = 0.06, θ = 3.44°
Daya penghubung
Flink = Q/cos θ = 2505 N
Daya pada B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 300.5 N
Jawapan
F = 300.5 N
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 148 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
ΣMA = 0: RB·10 = 65·1 + 60·2
RB = 185/10 = 18.5 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 18.5 = 106.5 kN
Momen di bawah setiap beban
Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.
di bawah P1: M = RA·1 = 106.5·1 = 106.5 kN·m
di bawah P2: M = RB·8 = 18.5·8 = 148 kN·m
Nilai terbesar
Mmax = 148 kN·m (di bawah P2)
Jawapan
Mmax = 148 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: B (x = 2 m)
Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).
Tindak balas penyokong
Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.
R1 = 120.8 kN, R2 = 53.25 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.
MA = 0, MB = −120 kN·m, MC = −14.5, MD = 59, ME = 30.5, MF = −30, MG = 0
Jawapan
Tanda B: MB = −120 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 57.6 × 10⁶ mm⁴
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Bahagikan kepada dua segi empat tepat
Ukur setiap y dari tepi bawah.
bebibir: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Bahagikan kepada dua segi empat tepat
Ukur setiap y dari tepi bawah.
bebibir: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm