Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (−1, −6, 4) pada b = (−2, −6, −4), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (−1, −6, 4)b = (−2, −6, −4)

comp_b a =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (10, −30, 40) N bertindak pada titik A(−2, 2, 0). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap asalan O(0, 0, 0).

F = (10, −30, 40) NA(−2, 2, 0) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 8 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 3 m dari A. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

L = 10 mP = 50 kN pada 8 mM = 15 kN·m (lawan arah jam) pada 3 m

R_B = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (3 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (8 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 7 m dari A, beban teragih seragam w pada seluruh bahagian CD dan beban titik Q pada 2 m dari A. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

AC = 3 mAD = 8 mP = 60 kN pada 7 mw = 5 kN/m dari 3 hingga 8 mQ = 70 kN pada 2 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 4 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 10 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 2 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 10 kNbeban mengufuk = 20 kN →

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 4 m, dan B setinggi 4 m dari tanah dan 1.8 m di sebelah kanan A. Beban menegak 20 kN bertindak pada anggota AB di K, 0.9 m (secara mengufuk) dari A. Cari daya F_BC dalam anggota BC.

P = 20 kNL = 4 mH = 4 mjarak mengufuk A ke B = 1.8 mjarak mengufuk A ke K = 0.9 m

F_BC = kN

8.Rangka & mesinSukar

Bum seragam mengufuk AB berberat 3 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari hujungnya B ke titik C pada dinding, 1.5 m di atas A. Beban 15 kN tergantung pada B. Cari tegangan T dalam kabel.

W = 15 kNW_b = 3 kNAB = 6 mAC = 1.5 m

T = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 0 m30 kN @ 12 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 30 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 72 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 150 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 50 mm dan setinggi 50 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 52.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 50 × 50 mmpusat lubang: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 2.94

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−1)·(−2) + (−6)·(−6) + 4·(−4) = 22

Panjang b

|b| = √((−2)² + (−6)² + (−4)²) = 7.483

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 22/7.483 = 2.94

Jawapan

comp_b a = 2.94

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 120 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (−2, 2, 0) − (0, 0, 0) = (−2, 2, 0) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·40 − 0·(−30) = 80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·10 − (−2)·40 = 80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−30) − 2·10 = 40 N·m

Magnitud

|M| = √(80² + 80² + 40²) = 120 N·m

Jawapan

|M| = 120 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 38.5 kN

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 50·8 + 15 = 0

R_B = 385/10 = 38.5 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 50 − 38.5 = 11.5 kN

Jawapan

R_B = 38.5 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 213.5 kN·m

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

W = 5·5 = 25 kN pada 2.5 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 60·4 + 25·2.5

R_D = 60.5 kN

V_C = 85 − 60.5 = 24.5 kN

Bahagian AC

Daya engsel V_C bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).

R_A = 70 + 24.5 = 94.5 kN

M_A = 70·2 + 24.5·3 = 213.5 kN·m

Jawapan

M_A = 213.5 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −9.019 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·1 → C_y = 1.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1.25 = 8.75 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −8.75/0.9701 = −9.019 kN

Jawapan

F_AB = −9.019 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −22.53 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 + 20·2 → C_y = 12.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 12.5 = −2.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12.5/0.5547 = −22.53 kN

Jawapan

F_BC = −22.53 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: F_BC = 5.136 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Anggota dua daya BC

BC = √(2.2² + 4²) = 4.565 m

Seluruh rangka: momen pada A

Tanah menolak BC pada C sepanjang CB; komponen mengufuknya melalui A, hanya yang menegak mempunyai momen.

F_BC·(4/4.565)·4 = 20·0.9

F_BC = 5.136 kN (mampatan)

Jawapan

F_BC = 5.136 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: T = 68.03 kN

Sudut kabel

BC = √(6² + 1.5²) = 6.185 m, sin β = 0.2425

Momen pada A

T·0.2425·6 = 15·6 + 3·3

T = 68.03 kN

Jawapan

T = 68.03 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 8.25 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 18·0.5 − 6·0.5·0.25 = 8.25 kN·m

Jawapan

M_x = 8.25 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 69.33 kN, R₂ = 72.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −45.33, M_D = −58.67, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −120 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 113.5 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (24000·120 − 706.9·72)/(24000 − 706.9) = 121.5 mm

Plat penuh pada ȳ

100·240³/12 + 24000·−1.457² = 115.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−49.46² = 1.769 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 113.5 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 113.5 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 40.24 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (22500·75 − 2500·52.5)/(22500 − 2500) = 77.81 mm

Plat penuh pada ȳ

150·150³/12 + 22500·−2.813² = 42.37 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

50·50³/12 + 2500·−25.31² = 2.123 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 40.24 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 40.24 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics