Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (5, −3, −2) dan b = (0, 5, 2), dalam darjah.

a = (5, −3, −2)b = (0, 5, 2)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi empat selari yang direntangi oleh a = (2, 1, 6) dan b = (3, 4, −6).

a = (2, 1, 6)b = (3, 4, −6)

A =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, naik daripada sifar di A kepada 15 kN/m di B. Cari tindak balas penyokong menegak R_A.

L = 6 mw₀ = 15 kN/m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 10 mP = 45 kN pada 5 mw = 3 kN/m dari 5 hingga 6 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

G: 30 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

D: 40 kN ↓F: 35 kN →G: 35 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 5 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 4.5 m, dan tali ikat mengufuk DE 1.8 m di atas tanah. Beban 5 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 5 kNAB = 5 mketinggian C = 4.5 mketinggian DE = 1.8 m

C = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rasuk AB pendakap dinding yang ditunjukkan dipin di A dan ditopang oleh topang CD (C berada 0.8 m di bawah A). Rasuk membawa beban seragam 1.5 kN/m sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik 2 kN pada hujung bebasnya B. Cari daya F_CD dalam topang.

w = 1.5 kN/mP = 2 kNAD = 1.2 mAB = 2.4 mAC = 0.8 m

F_CD = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 5 m dari A. Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 5 mP = 15 kN pada 5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 10 kN pada 2 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 72 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 35 MPa dalam tegangan dan 120 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 124.9 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 5·0 + (−3)·5 + (−2)·2 = −19

Magnitud

|a| = √(5² + (−3)² + (−2)²) = 6.164

|b| = √(0² + 5² + 2²) = 5.385

Sudut

cos θ = −19/(6.164·5.385) = −0.5724

θ = arccos(−0.5724) = 124.9°

Jawapan

θ = 124.9°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 42.72

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−6) − 6·4 = −30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·3 − 2·(−6) = 30

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·4 − 1·3 = 5

Luas

A = |a × b| = √((−30)² + 30² + 5²) = 42.72

Jawapan

A = 42.72

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 15 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·4

R_B = 30 kN

R_A = 45 − 30 = 15 kN

Jawapan

R_A = 15 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 23.85 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, bertindak pada x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·5 + 3·1·5.5

R_B = 241.5/10 = 24.15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24.15 = 23.85 kN

Jawapan

R_A = 23.85 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 11.25 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 22.5 kN (T), DE: 11.25 kN (T), FG: 11.25 kN (C), GH: 11.25 kN (C), AF: 18.75 kN (C), HE: 18.75 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 18.75 kN (C), DG: 18.75 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 62.92 kN (T), BC: 90.83 kN (T), CD: 90.83 kN (T), DE: 72.08 kN (T), FG: 62.92 kN (C), GH: 72.08 kN (C), AF: 34.9 kN (C), HE: 90.1 kN (C), BF: 20.94 kN (T), CG: 0, DH: 54.06 kN (T), BG: 34.9 kN (C), DG: 23.44 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: C = 3.407 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya tali ikat daripada kaki BC

B_y = 2.5 kN

T = 2.5·2.5/2.7 = 2.315 kN

Komponen daya pin pada BC

C_x = T = 2.315 kN, C_y = −B_y = −2.5 kN

Magnitud

C = √(2.315² + 2.5²) = 3.407 kN

Jawapan

C = 3.407 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: F_CD = 13.7 kN

Paduan beban seragam

w·L = 1.5·2.4 = 3.6 kN pada 1.2 m

Momen pada A untuk rasuk

F_CD·0.5547·1.2 = 3.6·1.2 + 2·2.4 = 9.12 kN·m

F_CD = 13.7 kN

Jawapan

F_CD = 13.7 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −56.25 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −15·2.5 = −37.5 kN·m

w: −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m

M_x = −37.5 − 18.75 = −56.25 kN·m

Jawapan

M_x = −56.25 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 5.375 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2 + 3·5·2.5

R_B = 57.5/5 = 11.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 11.5 = 13.5 kN

Potong pada x = 4.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 13.5·4.5 − 10·(4.5 − 2) − 3·4.5·2.25 = 5.375 kN·m

Jawapan

M_x = 5.375 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 169.7 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (36000·120 − 1257·72)/(36000 − 1257) = 121.7 mm

Plat penuh pada ȳ

150·240³/12 + 36000·−1.736² = 172.9 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−49.74² = 3.234 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 169.7 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 169.7 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 17.04 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (2100·247.5 + 4800·120)/6900 = 158.8 mm

tepi atas: c = 255 − 158.8 = 96.2 mm

Momen luas kedua

I = 140·15³/12 + 2100·88.7² + 20·240³/12 + 4800·38.8² = 4.683 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 35·4.683 × 10⁷/96.2 = 17.04 kN·m

tepi bawah: M = 120·4.683 × 10⁷/158.8 = 35.39 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 17.04 kN·m (tepi atas)

Jawapan

M_allow = 17.04 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics