Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari sudut θ antara vektor a = (−2, 3, 0) dan b = (1, −6, −4), dalam darjah.
a = (−2, 3, 0)b = (1, −6, −4)
θ = °
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Daya F = (0, 50, 60) N bertindak pada titik A(−3, 4, −3). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap titik O(−2, 3, 2).
F = (0, 50, 60) NA(−3, 4, −3) mO(−2, 3, 2) m
|M| = N·m
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 10 kN pada 2.5 mP2 = 50 kN pada 4 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (2 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (6 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 3 m dari A, beban teragih seragam w pada seluruh bahagian CD dan beban titik Q pada 1 m dari A. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.
AC = 2 mAD = 6 mP = 40 kN pada 3 mw = 5 kN/m dari 2 hingga 6 mQ = 60 kN pada 1 m
MA = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 35 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FBC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 5 mtinggi = 3 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 50 kNbeban mengufuk = 30 kN ←
FBC = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4.8 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 4.5 m, dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban 12 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.
P = 12 kNAB = 4.8 mketinggian C = 4.5 mketinggian DE = 1 m
C = kN
8.Rangka & mesinSukar
Bum seragam mengufuk AB berberat 1 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 1 m di atas A. Beban 12 kN tergantung pada B. Cari magnitud tindak balas pin A.
W = 12 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m
A = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 4 m dari A. Cari momen lentur Mx pada keratan x = 0.5 m dari penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.
L = 4 mP = 40 kN pada 4 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum Mmax di antara penyokong.
L = 9.5 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 9.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m
Mmax = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Plat 100 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 84 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.
b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Plat 200 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 52.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.
b = 200 mmh = 150 mmpotongan: 60 × 20 mmpusat lubang: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: θ = 139.6 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil darab titik
a·b = (−2)·1 + 3·(−6) + 0·(−4) = −20
Magnitud
|a| = √((−2)² + 3² + 0²) = 3.606
|b| = √(1² + (−6)² + (−4)²) = 7.28
Sudut
cos θ = −20/(3.606·7.28) = −0.7619
θ = arccos(−0.7619) = 139.6°
Jawapan
θ = 139.6°
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: |M| = 319.7 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektor kedudukan dari O ke A
r = A − O = (−3, 4, −3) − (−2, 3, 2) = (−1, 1, −5) m
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·3 = 10·2.5 + 50·4
RB = 225/3 = 75 kN
Keseimbangan menegak
RA = 10 + 50 − 75 = −15 kN
Jawapan
RA = −15 kN
RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: MA = 140 kN·m
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.
Bahagian CD
Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.
W = 5·4 = 20 kN pada 2 m dari C
ΣMC = 0: RD·4 = 40·1 + 20·2
RD = 20 kN
VC = 60 − 20 = 40 kN
Bahagian AC
Daya engsel VC bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).
RA = 60 + 40 = 100 kN
MA = 60·1 + 40·2 = 140 kN·m
Jawapan
MA = 140 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota CG
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·2 − 30·3 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 2 = 48 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
Sambungan C
Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.
sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Daya tali ikat daripada kaki BC
By = 6 kN
T = 6·2.4/3.5 = 4.114 kN
Komponen daya pin pada BC
Cx = T = 4.114 kN, Cy = −By = −6 kN
Magnitud
C = √(4.114² + 6²) = 7.275 kN
Jawapan
C = 7.275 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: A = 25 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Tegangan kabel
T = (12 + 1/2)/0.4472 = 27.95 kN
Komponen di A
Ax = T·cos β = 25 kN
Ay = 12 + 1 − T·sin β = 0.5 kN
Magnitud
A = √(25² + 0.5²) = 25 kN
Jawapan
A = 25 kN
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = −158.4 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Simpan bahagian hujung bebas
P: −40·3.5 = −140 kN·m
w: −3·3.5²/2 = −18.38 kN·m
Mx = −140 − 18.38 = −158.4 kN·m
Jawapan
Mx = −158.4 kN·m
Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 74.47 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·9.5 = 95 kN, bertindak pada x̄ = 4.75 m
Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.
Sentroid
ȳ = (24000·120 − 1257·84)/(24000 − 1257) = 122 mm
Plat penuh pada ȳ
100·240³/12 + 24000·−1.989² = 115.3 × 10⁶ mm⁴
Lubang pada ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−37.99² = 1.939 × 10⁶ mm⁴
Tolak
Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
Jawapan
Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 55.58 × 10⁶ mm⁴
Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.
Sentroid
ȳ = (30000·75 − 1200·52.5)/(30000 − 1200) = 75.94 mm