Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (25, −10, 20) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(1, 4, 1) ke titik B(3, 5, 4). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (25, −10, 20) NA(1, 4, 1) mB(3, 5, 4) m

W = J

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (3, −4, −3), b = (−5, −2, 0) dan c = (1, −2, −3).

a = (3, −4, −3)b = (−5, −2, 0)c = (1, −2, −3)

V =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w dari dinding hingga 4 m dan beban titik P pada 8 m dari dinding. Cari tindak balas menegak R_A pada dinding.

L = 10 mP = 30 kN pada 8 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 5 mP = 40 kN pada 3.5 mw = 2 kN/m dari 3 hingga 5 m

R_B = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 3 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 55 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 4 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 25 kNbeban mengufuk = 20 kN →

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 5 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4.5 m dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban menegak 10 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.875 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 10 kNAB = 5 mketinggian C = 4.5 mketinggian DE = 1 mjarak mengufuk A ke K = 1.875 m

T = kN

8.Rangka & mesinSukar

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 80 mm antara pin. Sambungan B berada 8 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 2500 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 2500 NAB = BC = 80 mmh = 8 mm

F = N

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 4 m5 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 10 mw = 24 kN/m dari 1 hingga 10 m

M_max = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 30 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 100 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (3, 5, 4) − (1, 4, 1) = (2, 1, 3) m

Kerja

W = F·d = 25·2 + (−10)·1 + 20·3 = 100 J

Jawapan

W = 100 J

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: V = 42

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·(−3) − 0·(−2) = 6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·1 − (−5)·(−3) = −15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·(−2) − (−2)·1 = 12

Hasil darab titik dengan a

a·(b × c) = 3·6 + (−4)·(−15) + (−3)·12 = 42

V = |42| = 42

Jawapan

V = 42

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 78 kN

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 12·4 = 48 kN, x̄ = 2 m

Keseimbangan menegak

R_A = P + W = 30 + 48 = 78 kN

Jawapan

R_A = 78 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 31.2 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3.5 + 2·2·4

R_B = 156/5 = 31.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 31.2 = 12.8 kN

Jawapan

R_B = 31.2 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −39.66 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 22 = 33 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33/0.8321 = −39.66 kN

Jawapan

F_AB = −39.66 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = 7.071 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·4 + 20·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 30 = −5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−5/0.7071 = 7.071 kN

Jawapan

F_AB = 7.071 kN (tegangan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: T = 2.679 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y = 10·1.875/5 = 3.75 kN

Kaki BC: momen pada C

3.75·2.5 = T·3.5

T = 2.679 kN

Jawapan

T = 2.679 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 502.5 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Sudut penghubung

sin θ = 8/80 = 0.1, θ = 5.739°

Daya penghubung

F_link = Q/cos θ = 2513 N

Daya pada B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2500·tan θ = 502.5 N

Jawapan

F = 502.5 N

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 9.583 kN, R₂ = 15.42 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 9.583, M_C = 19.17, M_D = 26.25, M_E = 28.33 kN·m, M_F = 15.42, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 28.33 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 294 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 24·9 = 216 kN, bertindak pada x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 24·9·5.5

R_B = 1188/10 = 118.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 216 − 118.8 = 97.2 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 97.2/24 = 5.05 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 97.2·5.05 − 24·4.05²/2 = 294 kN·m

Jawapan

M_max = 294 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 79.16 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

web: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·290 + 3920·140)/9920 = 230.7 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·20³/12 + 6000·(290 − 230.7)² = 2.128 × 10⁷ mm⁴

web: 14·280³/12 + 3920·(140 − 230.7)² = 5.788 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.128 × 10⁷ + 5.788 × 10⁷ = 7.916 × 10⁷ mm⁴ = 79.16 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 79.16 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 131.8 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (40000·100 − 900·60)/(40000 − 900) = 100.9 mm

Plat penuh pada ȳ

200·200³/12 + 40000·−0.9207² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·30³/12 + 900·−40.92² = 1.575 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 131.8 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 131.8 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics