Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (5, −2, −5) dan b = (6, 0, 4), dalam darjah.

a = (5, −2, −5)b = (6, 0, 4)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(2, −4, 4), B(3, −4, 1) dan C(−3, 1, 4). Koordinat dalam meter.

A(2, −4, 4)B(3, −4, 1)C(−3, 1, 4)

A = m²

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 4 mP₁ = 25 kN pada 2.5 mP₂ = 35 kN pada 3 m

R_B = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 8 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 6 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 6 mw₀ = 8 kN/mP = 65 kN pada 6 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 3 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 60 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 30 kN ↓C: 35 kN ↓D: 25 kN ↓H: 35 kN ↓H: 40 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2.5 m dan tali ikat mengufuk DE 0.6 m di atas tanah. Beban menegak 10 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.5 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 10 kNAB = 4 mketinggian C = 2.5 mketinggian DE = 0.6 mjarak mengufuk A ke K = 1.5 m

T = kN

8.Rangka & mesinSukar

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 120 mm antara pin. Sambungan B berada 25 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 5000 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 5000 NAB = BC = 120 mmh = 25 mm

F = N

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 7 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 7 m

V_x = kN

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mP = 45 kN pada 3 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 200 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 130 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 40 mm dan setinggi 20 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 210 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 40 × 20 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 79.12 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 5·6 + (−2)·0 + (−5)·4 = 10

Magnitud

|a| = √(5² + (−2)² + (−5)²) = 7.348

|b| = √(6² + 0² + 4²) = 7.211

Sudut

cos θ = 10/(7.348·7.211) = 0.1887

θ = arccos(0.1887) = 79.12°

Jawapan

θ = 79.12°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 10.9 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (1, 0, −3)

AC = C − A = (−5, 5, 0)

Hasil darab silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·0 − (−3)·5 = 15

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·(−5) − 1·0 = 15

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 1·5 − 0·(−5) = 5

|AB × AC| = √(15² + 15² + 5²) = 21.79

Luas segi tiga

A = ½·21.79 = 10.9 m²

Jawapan

A = 10.9 m²

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 41.88 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2.5 + 35·3

R_B = 167.5/4 = 41.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 41.88 = 18.13 kN

Jawapan

R_B = 41.88 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 486 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·8·6 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Momen pada dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 24·4 + 65·6 = 486 kN·m

Jawapan

M_A = 486 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 17.5 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·1 → C_y = 7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 7.5 = 52.5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/7.616 = 0.3939, cos γ = 7/7.616 = 0.9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7.5/0.3939 = −19.04 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−19.04)·0.9191 = 17.5 kN

Jawapan

F_AC = 17.5 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 11.25 kN (T), BC: 11.25 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 42.5 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 85.42 kN (C), HE: 70.83 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 47.92 kN (T), HC: 4.167 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: T = 3.947 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y = 10·1.5/4 = 3.75 kN

Kaki BC: momen pada C

3.75·2 = T·1.9

T = 3.947 kN

Jawapan

T = 3.947 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 2130 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Sudut penghubung

sin θ = 25/120 = 0.2083, θ = 12.02°

Daya penghubung

F_link = Q/cos θ = 5112 N

Daya pada B

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 2130 N

Jawapan

F = 2130 N

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = −12 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Potong pada x = 7 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 30 − 6·7 = −12 kN

Jawapan

V_x = −12 kN

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 42.13 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·3 + 4·8·4

R_B = 263/8 = 32.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 77 − 32.88 = 44.13 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 44.13·1 − 4·1·0.5 = 42.13 kN·m

Jawapan

M_x = 42.13 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 64.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (20000·100 − 1963·130)/(20000 − 1963) = 96.73 mm

Plat penuh pada ȳ

100·200³/12 + 20000·3.266² = 66.88 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·33.27² = 2.48 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 64.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 64.4 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (30000·150 − 800·210)/(30000 − 800) = 148.4 mm

Plat penuh pada ȳ

100·300³/12 + 30000·1.644² = 225.1 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

40·20³/12 + 800·61.64² = 3.067 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 222 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics