Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari sudut θ antara vektor a = (5, −1, 2) dan b = (−6, −6, 6), dalam darjah.
a = (5, −1, 2)b = (−6, −6, 6)
θ = °
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (1, −4, 0), b = (−3, −4, 2) dan c = (1, 2, 2).
a = (1, −4, 0)b = (−3, −4, 2)c = (1, 2, 2)
V =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, naik daripada sifar di A kepada 4 kN/m di B. Cari tindak balas penyokong menegak RA.
L = 10 mw0 = 4 kN/m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 2 m dari A dan beban teragih seragam w dari 2.5 m hingga hujung bebas pada 4 m. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 3 mAC = 4 mP = 65 kN pada 2 mw = 2 kN/m dari 2.5 hingga 4 m
RB = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 3.2 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 4 m, dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban 5 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.
P = 5 kNAB = 3.2 mketinggian C = 4 mketinggian DE = 1 m
C = kN
8.Rangka & mesinSukar
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4 m dan tali ikat mengufuk DE 0.8 m di atas tanah. Beban menegak 4 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.5 m (secara mengufuk) dari A. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.
P = 4 kNAB = 4 mketinggian C = 4 mketinggian DE = 0.8 mjarak mengufuk A ke K = 1.5 m
C = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.
10 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 2 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum Mmax di antara penyokong.
L = 7 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 7 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m
Mmax = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.
bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 30 MPa dalam tegangan dan 90 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur sagging terbesar Mallow yang boleh ditanggung oleh rasuk.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil darab titik
a·b = 5·(−6) + (−1)·(−6) + 2·6 = −12
Magnitud
|a| = √(5² + (−1)² + 2²) = 5.477
|b| = √((−6)² + (−6)² + 6²) = 10.39
Sudut
cos θ = −12/(5.477·10.39) = −0.2108
θ = arccos(−0.2108) = 102.2°
Jawapan
θ = 102.2°
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: V = 44
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−4)·2 − 2·2 = −12
(b × c)y = bzcx − bxcz = 2·1 − (−3)·2 = 8
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·2 − (−4)·1 = −2
Hasil darab titik dengan a
a·(b × c) = 1·(−12) + (−4)·8 + 0·(−2) = −44
V = |−44| = 44
Jawapan
V = 44
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 6.667 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Daya paduan beban segi tiga
W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6.667
RB = 13.33 kN
RA = 20 − 13.33 = 6.667 kN
Jawapan
RA = 6.667 kN
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RB = 46.58 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Daya paduan beban teragih
W = 2·1.5 = 3 kN, x̄ = (2.5 + 4)/2 = 3.25 m
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
ΣMA = 0: RB·3 = 65·2 + 3·3.25
RB = 139.8/3 = 46.58 kN
RA = 68 − 46.58 = 21.42 kN
Jawapan
RB = 46.58 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota BF
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi B
AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Daya tali ikat daripada kaki BC
By = 2.5 kN
T = 2.5·1.6/3 = 1.333 kN
Komponen daya pin pada BC
Cx = T = 1.333 kN, Cy = −By = −2.5 kN
Magnitud
C = √(1.333² + 2.5²) = 2.833 kN
Jawapan
C = 2.833 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: C = 1.769 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Tindak balas penyokong pada B
By = 4·1.5/4 = 1.5 kN
Daya tali ikat
T = 1.5·2/3.2 = 0.9375 kN
Daya pin pada BC
Cx = 0.9375 kN, Cy = −1.5 kN
C = √(0.9375² + 1.5²) = 1.769 kN
Jawapan
C = 1.769 kN
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: D (x = 6 m)
Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).
Tindak balas penyokong
Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.
R1 = 35 kN, R2 = 35 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.
MA = 0, MB = 60, MC = 100, MD = 120 kN·m, ME = 100, MF = 60, MG = 0
Jawapan
Tanda D: MD = 120 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mmax = 13.23 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN, bertindak pada x̄ = 3.5 m
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Bahagikan kepada dua segi empat tepat
Ukur setiap y dari tepi bawah.
bebibir: Af = 240·25 = 6000 mm², yf = 260 + 25/2 = 272.5 mm
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.