Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (6, −4, −4) dan b = (6, −2, −5), dalam darjah.

a = (6, −4, −4)b = (6, −2, −5)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (10, 50, −30) N bertindak pada titik A(2, −4, −3). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap titik O(1, −1, 0).

F = (10, 50, −30) NA(2, −4, −3) mO(1, −1, 0) m

|M| = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah (pin di A, penggelek di B) membawa beban yang berubah secara linear, turun daripada 15 kN/m di A kepada sifar di B. Beban titik P juga bertindak pada 5 m dari A. Cari tindak balas penyokong menegak R_A.

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 65 kN pada 5 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 10 mP = 40 kN pada 5 mw = 3 kN/m dari 2 hingga 3 m

R_B = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 55 kN

F_BC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 10 kNbeban mengufuk = 30 kN ←

F_AC = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 5 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 3.6 m, dan tali ikat mengufuk DE 0.8 m di atas tanah. Beban 12 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 12 kNAB = 5 mketinggian C = 3.6 mketinggian DE = 0.8 m

C = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 3 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3 m dan tali ikat mengufuk DE 1 m di atas tanah. Beban menegak 10 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.125 m (secara mengufuk) dari A. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 10 kNAB = 3 mketinggian C = 3 mketinggian DE = 1 mjarak mengufuk A ke K = 1.125 m

C = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m

V_x = kN

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

25 kN @ 0 m10 kN @ 12 m10 kN @ 6 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 280 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 150 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 20 mm. Cari ketinggian ȳ sentroid di atas tepi bawah.

b = 280 mmh = 150 mmt = 20 mm

ȳ = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 25 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_bawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 15.71 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = 6·6 + (−4)·(−2) + (−4)·(−5) = 64

Magnitud

|a| = √(6² + (−4)² + (−4)²) = 8.246

|b| = √(6² + (−2)² + (−5)²) = 8.062

Sudut

cos θ = 64/(8.246·8.062) = 0.9627

θ = arccos(0.9627) = 15.71°

Jawapan

θ = 15.71°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 253 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (2, −4, −3) − (1, −1, 0) = (1, −3, −3) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·(−30) − (−3)·50 = 240 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·10 − 1·(−30) = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·50 − (−3)·10 = 80 N·m

Magnitud

|M| = √(240² + 0² + 80²) = 253 N·m

Jawapan

|M| = 253 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 40.83 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 65·5

R_B = 69.17 kN

R_A = 110 − 69.17 = 40.83 kN

Jawapan

R_A = 40.83 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 20.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·5 + 3·1·2.5

R_B = 207.5/10 = 20.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 20.75 = 22.25 kN

Jawapan

R_B = 20.75 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −19.45 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 → C_y = 13.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13.75 = 41.25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13.75/0.7071 = −19.45 kN

Jawapan

F_BC = −19.45 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = −8 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·3 − 30·3 → C_y = −12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −12 = 22 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−12/0.8321 = 14.42 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(14.42)·0.5547 = −8 kN

Jawapan

F_AC = −8 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: C = 8.044 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya tali ikat daripada kaki BC

B_y = 6 kN

T = 6·2.5/2.8 = 5.357 kN

Komponen daya pin pada BC

C_x = T = 5.357 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Magnitud

C = √(5.357² + 6²) = 8.044 kN

Jawapan

C = 8.044 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: C = 4.688 kN

Tindak balas penyokong pada B

B_y = 10·1.125/3 = 3.75 kN

Daya tali ikat

T = 3.75·1.5/2 = 2.813 kN

Daya pin pada BC

C_x = 2.813 kN, C_y = −3.75 kN

C = √(2.813² + 3.75²) = 4.688 kN

Jawapan

C = 4.688 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = 3 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 4 − 2·0.5 = 3 kN

Jawapan

V_x = 3 kN

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: B (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 45 kN, R₂ = 30 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −20, M_D = −10, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Jawapan

Tanda B: M_B = −50 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: ȳ = 46.11 mm

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 280·20 = 5600 mm², y₁ = 10 mm

dua kaki: A₂ = 2·20·130 = 5200 mm², y₂ = 20 + 130/2 = 85 mm

Sentroid

ȳ = (5600·10 + 5200·85)/10800 = 46.11 mm

Jawapan

ȳ = 46.11 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 82.53 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

web: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·235 + 3960·110)/12960 = 196.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 300·30³/12 + 9000·(235 − 196.8)² = 1.38 × 10⁷ mm⁴

web: 18·220³/12 + 3960·(110 − 196.8)² = 4.581 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.38 × 10⁷ + 4.581 × 10⁷ = 5.962 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 196.8 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·196.8/5.962 × 10⁷ = 82.53 MPa

Jawapan

σ_bawah = 82.53 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics