Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (3, −4, −1) dan b = (0, −2, −3).

a = (3, −4, −1)b = (0, −2, −3)

a·b =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi tiga dengan bucu A(−3, −1, 3), B(−4, 3, −2) dan C(2, −2, −3). Koordinat dalam meter.

A(−3, −1, 3)B(−4, 3, −2)C(2, −2, −3)

A = m²

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 45 kN pada 0.5 mP₂ = 15 kN pada 5 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 5 mP = 35 kN pada 1.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 4 mB ialah 4 m dari Abeban tegak = 25 kN

F_AC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 10 kN ↓C: 35 kN ↓D: 30 kN ↓F: 15 kN ↓F: 25 kN →H: 10 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Rangka & mesinSederhana

Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 1 m di bawah A. Beban 8 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.

P = 8 kNAD = 1.5 mAB = 2.4 mAC = 1 m

A = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3 m dan tali ikat mengufuk DE 0.8 m di atas tanah. Beban menegak 8 kN bertindak pada kaki AC di K, 1.5 m (secara mengufuk) dari A. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 8 kNAB = 6 mketinggian C = 3 mketinggian DE = 0.8 mjarak mengufuk A ke K = 1.5 m

C = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 2.5 m dari A. Cari momen lentur M_A pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 4 mP = 20 kN pada 2.5 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 4 m

M_A = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 0 m10 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 160 mm dan setebal 20 mm, kedalaman keseluruhan 300 mm dan web setebal 12 mm. Cari modulus keratan kenyalnya S_x bagi lenturan pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 160 mmH = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 150 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 150 mmpotongan: 30 × 40 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = 11

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = 3·0 + (−4)·(−2) + (−1)·(−3) = 0 + 8 + 3 = 11

Jawapan

a·b = 11

Positif: sudut antara vektor kurang daripada 90°.

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 23.25 m²

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (−1, 4, −5)

AC = C − A = (5, −1, −6)

Hasil darab silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·(−6) − (−5)·(−1) = −29

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−5)·5 − (−1)·(−6) = −31

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·(−1) − 4·5 = −19

|AB × AC| = √((−29)² + (−31)² + (−19)²) = 46.51

Luas segi tiga

A = ½·46.51 = 23.25 m²

Jawapan

A = 23.25 m²

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 35.63 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·0.5 + 15·5

R_B = 97.5/4 = 24.38 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 45 + 15 − 24.38 = 35.63 kN

Jawapan

R_A = 35.63 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 39.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1.5 + 6·5·2.5

R_B = 127.5/5 = 25.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 25.5 = 39.5 kN

Jawapan

R_A = 39.5 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 5 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20 = 5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.9701 = −20.62 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20.62)·0.2425 = 5 kN

Jawapan

F_AC = 5 kN (tegangan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 80.42 kN (T), BC: 80.42 kN (T), CD: 77.92 kN (T), DE: 77.92 kN (T), FG: 102.5 kN (C), GH: 102.5 kN (C), AF: 69.27 kN (C), HE: 97.4 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 27.6 kN (T), HC: 30.73 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: A = 19.79 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya topang

F_CD = 8·2.4/(0.5547·1.5) = 23.08 kN

Komponen di A

A_x = F_CD·cos α = 19.2 kN (ke arah dinding)

A_y = 8 − F_CD·sin α = −4.8 kN

Magnitud

A = √(19.2² + −4.8²) = 19.79 kN

Jawapan

A = 19.79 kN

A_y negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawapan: C = 3.382 kN

Tindak balas penyokong pada B

B_y = 8·1.5/6 = 2 kN

Daya tali ikat

T = 2·3/2.2 = 2.727 kN

Daya pin pada BC

C_x = 2.727 kN, C_y = −2 kN

C = √(2.727² + 2²) = 3.382 kN

Jawapan

C = 3.382 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_A = −74 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Simpan bahagian hujung bebas

P: −20·2.5 = −50 kN·m

w: −3·4²/2 = −24 kN·m

M_A = −50 − 24 = −74 kN·m

Jawapan

M_A = −74 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: B (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 46.67 kN, R₂ = 3.333 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −80 kN·m, M_C = −66.67, M_D = −53.33, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Jawapan

Tanda B: M_B = −80 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: S_x = 954.9 × 10³ mm³

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 300 − 2·20 = 260 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·300³ − 148·260³)/12

I_x = 1.432 × 10⁸ mm⁴

Modulus keratan

c = H/2 = 150 mm

S_x = I/c = 1.432 × 10⁸/150

S_x = 954862 mm³ = 954.9 × 10³ mm³

Jawapan

S_x = 954.9 × 10³ mm³

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 41.74 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (22500·75 − 1200·60)/(22500 − 1200) = 75.85 mm

Plat penuh pada ȳ

150·150³/12 + 22500·−0.8451² = 42.2 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·40³/12 + 1200·−15.85² = 0.4613 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 41.74 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 41.74 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics