Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Daya malar F = (30, 30, −20) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(−2, −2, 0) ke titik B(2, −2, −1). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.
F = (30, 30, −20) NA(−2, −2, 0) mB(2, −2, −1) m
W = J
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (2, 3, −3), b = (3, 2, 0) dan c = (5, 0, −5).
a = (2, 3, −3)b = (3, 2, 0)c = (5, 0, −5)
V =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 7 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 7 mAC = 10 mP1 = 10 kN pada 4 mP2 = 35 kN pada 10 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 2.5 m dari A dan beban teragih seragam w dari 3 m hingga hujung bebas pada 4 m. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 3 mAC = 4 mP = 30 kN pada 2.5 mw = 4 kN/m dari 3 hingga 4 m
RA = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
B: 15 kN ↓G: 10 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
D: 25 kN ↓F: 20 kN ↓F: 10 kN →G: 25 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG
7.Rangka & mesinSederhana
Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 3 m, dan B setinggi 3 m dari tanah dan 1.35 m di sebelah kanan A. Beban menegak 4 kN bertindak pada anggota AB di K, 0.81 m (secara mengufuk) dari A. Cari daya FBC dalam anggota BC.
P = 4 kNL = 3 mH = 3 mjarak mengufuk A ke B = 1.35 mjarak mengufuk A ke K = 0.81 m
FBC = kN
8.Rangka & mesinSukar
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 4.8 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 3.6 m, dan diikat oleh bar mengufuk DE pada 1.2 m. Daya mengufuk 5 kN ke kanan bertindak pada C. Cari tegangan T dalam tali ikat.
P = 5 kNAB = 4.8 mketinggian C = 3.6 mketinggian DE = 1.2 m
T = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Cari momen lentur Mx pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.
L = 6 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Cari momen lentur Mx pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.
L = 6 mP = 50 kN pada 1 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.
bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Plat 100 mm × 150 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 97.5 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.
b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: W = 140 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Sesaran
d = B − A = (2, −2, −1) − (−2, −2, 0) = (4, 0, −1) m
Kerja
W = F·d = 30·4 + 30·0 + (−20)·(−1) = 140 J
Jawapan
W = 140 J
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: V = 55
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−5) − 0·0 = −10
(b × c)y = bzcx − bxcz = 0·5 − 3·(−5) = 15
(b × c)z = bxcy − bycx = 3·0 − 2·5 = −10
Hasil darab titik dengan a
a·(b × c) = 2·(−10) + 3·15 + (−3)·(−10) = 55
V = |55| = 55
Jawapan
V = 55
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RB = 55.71 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·7 = 10·4 + 35·10
RB = 390/7 = 55.71 kN
Keseimbangan menegak
RA = 10 + 35 − 55.71 = −10.71 kN
Jawapan
RB = 55.71 kN
RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 4.333 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Daya paduan beban teragih
W = 4·1 = 4 kN, x̄ = (3 + 4)/2 = 3.5 m
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
ΣMA = 0: RB·3 = 30·2.5 + 4·3.5
RB = 89/3 = 29.67 kN
RA = 34 − 29.67 = 4.333 kN
Jawapan
RA = 4.333 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota DH
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Anggota dua daya BC
BC = √(1.65² + 3²) = 3.424 m
Seluruh rangka: momen pada A
Tanah menolak BC pada C sepanjang CB; komponen mengufuknya melalui A, hanya yang menegak mempunyai momen.
FBC·(3/3.424)·3 = 4·0.81
FBC = 1.233 kN (mampatan)
Jawapan
FBC = 1.233 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: T = 3.75 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Seluruh rangka: momen pada A
By·4.8 = 5·3.6
By = 3.75 kN
Kaki BC: momen pada C
3.75·2.4 = T·2.4
T = 3.75 kN
Jawapan
T = 3.75 kN
T positif bermaksud tali ikat dalam tegangan, seperti yang dianggap.
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = 13.13 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri
Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 9·2.5 − 3·2.5·1.25 = 13.13 kN·m
Jawapan
Mx = 13.13 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = 42.29 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1 + 3·6·3
RB = 104/6 = 17.33 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 17.33 = 50.67 kN
Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri
Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.
Bahagikan kepada dua segi empat tepat
Ukur setiap y dari tepi bawah.
bebibir: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm
Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.
Sentroid
ȳ = (15000·75 − 2400·97.5)/(15000 − 2400) = 70.71 mm