Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (−25, 5, 15) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(1, 1, 2) ke titik B(0, −1, −3). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (−25, 5, 15) NA(1, 1, 2) mB(0, −1, −3) m

W = J

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Cari luas A segi empat selari yang direntangi oleh a = (−1, −3, 2) dan b = (1, 3, 1).

a = (−1, −3, 2)b = (1, 3, 1)

A =

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 10 mP₁ = 35 kN pada 6 mP₂ = 40 kN pada 7 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 6 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 4.5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 5 mw₀ = 6 kN/mP = 50 kN pada 4.5 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 3 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 55 kN

F_BC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 4 mB ialah 7 m dari Abeban tegak = 45 kNbeban mengufuk = 25 kN ←

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Dalam pengapit togol yang ditunjukkan, dua penghubung AB dan BC yang sama dipin bersama di B, dan setiap satu membuat sudut 20° dengan garis AC. Daya ke bawah 300 N dikenakan pada B. Penggelongsor C menekan bahan kerja. Dengan mengabaikan geseran dan berat, cari daya pengapitan mengufuk Q.

F = 300 Nθ = 20°

Q = N

8.Rangka & mesinSukar

Rasuk AB pendakap dinding yang ditunjukkan dipin di A dan ditopang oleh topang CD (C berada 0.5 m di bawah A). Rasuk membawa beban seragam 1.5 kN/m sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik 8 kN pada hujung bebasnya B. Cari daya F_CD dalam topang.

w = 1.5 kN/mP = 8 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 0.5 m

F_CD = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 2 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 5 mw = 24 kN/m dari 2 hingga 4 m

M_max = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 120 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 130 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari ketinggian ȳ sentroid di atas tepi bawah.

b = 120 mmh = 130 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 150 × 24 mm, web setinggi 290 mm dan setebal 10 mm, dan bebibir bawah 220 × 14 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 150 × 24 mmweb: 10 × 290 mmbebibir bawah: 220 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = −60 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (0, −1, −3) − (1, 1, 2) = (−1, −2, −5) m

Kerja

W = F·d = (−25)·(−1) + 5·(−2) + 15·(−5) = −60 J

Jawapan

W = −60 J

Kerja negatif: daya bertindak kebanyakannya melawan gerakan.

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: A = 9.487

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·1 − 2·3 = −9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·1 − (−1)·1 = 3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·3 − (−3)·1 = 0

Luas

A = |a × b| = √((−9)² + 3² + 0²) = 9.487

Jawapan

A = 9.487

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 26 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·6 + 40·7

R_B = 490/10 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 49 = 26 kN

Jawapan

R_A = 26 kN

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 275 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

Momen pada dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 15·3.333 + 50·4.5 = 275 kN·m

Jawapan

M_A = 275 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −17.82 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 → C_y = 9.167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 9.167 = 45.83 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −9.167/0.5145 = −17.82 kN

Jawapan

F_BC = −17.82 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −36.53 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·7 − 25·4 → C_y = 26.88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 26.88 = 18.13 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 4/8.062 = 0.4961

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18.13/0.4961 = −36.53 kN

Jawapan

F_AB = −36.53 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: Q = 412.1 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Keseimbangan pin B

2·F_link·sin 20° = 300

F_link = 438.6 N

Daya pengapitan

Q = F_link·cos 20° = 300/(2·tan 20°) = 412.1 N

Jawapan

Q = 412.1 N

Nisbah daya Q/F = 1.374 bertambah tanpa had apabila penghubung diluruskan.

8.Rangka & mesin

Jawapan: F_CD = 63.39 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Paduan beban seragam

w·L = 1.5·3 = 4.5 kN pada 1.5 m

Momen pada A untuk rasuk

F_CD·0.2425·2 = 4.5·1.5 + 8·3 = 30.75 kN·m

F_CD = 63.39 kN

Jawapan

F_CD = 63.39 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 63.33 kN, R₂ = 46.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 63.33, M_C = 126.7, M_D = 140 kN·m, M_E = 93.33, M_F = 46.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 140 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 46.08 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 24·2·3

R_B = 144/5 = 28.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 28.8 = 19.2 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 19.2/24 = 2.8 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 19.2·2.8 − 24·0.8²/2 = 46.08 kN·m

Jawapan

M_max = 46.08 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: ȳ = 47.57 mm

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 120·8 = 960 mm², y₁ = 4 mm

dua kaki: A₂ = 2·8·122 = 1952 mm², y₂ = 8 + 122/2 = 69 mm

Sentroid

ȳ = (960·4 + 1952·69)/2912 = 47.57 mm

Jawapan

ȳ = 47.57 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 179.5 × 10⁶ mm⁴

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 3600 mm², y = 316 mm

web: A = 2900 mm², y = 159 mm

bebibir bawah: A = 3080 mm², y = 7 mm

Sentroid

ȳ = (3600·316 + 2900·159 + 3080·7)/9580 = 169.1 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 150·24³/12 + 3600·146.9² = 7.783 × 10⁷ mm⁴

web: 10·290³/12 + 2900·10.13² = 2.062 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 220·14³/12 + 3080·162.1² = 8.101 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.783 × 10⁷ + 2.062 × 10⁷ + 8.101 × 10⁷

I_x = 1.795 × 10⁸ mm⁴ = 179.5 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 179.5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics