Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (−6, −6, 2) dan b = (3, −5, −4), dalam darjah.

a = (−6, −6, 2)b = (3, −5, −4)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−40, −30, −20) N bertindak pada titik A(1, 2, −3). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap titik O(−2, 0, −3).

F = (−40, −30, −20) NA(1, 2, −3) mO(−2, 0, −3) m

|M| = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 3.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 3.5 mAC = 5 mP₁ = 55 kN pada 3 mP₂ = 75 kN pada 5 m

R_B = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (4 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (8 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 7 m dari A, beban teragih seragam w pada seluruh bahagian CD. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

AC = 4 mAD = 8 mP = 55 kN pada 7 mw = 10 kN/m dari 4 hingga 8 m

M_A = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 3 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 50 kN

F_BC = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

F: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 10 kN ←

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan bersandar pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 6 m. Kaki bertemu pada pin C, setinggi 2.4 m, dan tali ikat mengufuk DE 0.6 m di atas tanah. Beban 2 kN bertindak pada C. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 2 kNAB = 6 mketinggian C = 2.4 mketinggian DE = 0.6 m

C = kN

8.Rangka & mesinSukar

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 3.2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4 m dan tali ikat mengufuk DE 1.5 m di atas tanah. Beban menegak 10 kN bertindak pada kaki AC di K, 0.8 m (secara mengufuk) dari A. Cari magnitud daya C yang dikenakan oleh pin C pada kaki BC.

P = 10 kNAB = 3.2 mketinggian C = 4 mketinggian DE = 1.5 mjarak mengufuk A ke K = 0.8 m

C = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 5 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

20 kN @ 6 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 200 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 130 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 5 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mmM = 5 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 86.28 °

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−6)·3 + (−6)·(−5) + 2·(−4) = 4

Magnitud

|a| = √((−6)² + (−6)² + 2²) = 8.718

|b| = √(3² + (−5)² + (−4)²) = 7.071

Sudut

cos θ = 4/(8.718·7.071) = 0.06489

θ = arccos(0.06489) = 86.28°

Jawapan

θ = 86.28°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 72.8 N·m

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (1, 2, −3) − (−2, 0, −3) = (3, 2, 0) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−20) − 0·(−30) = −40 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−40) − 3·(−20) = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−30) − 2·(−40) = −10 N·m

Magnitud

|M| = √((−40)² + 60² + (−10)²) = 72.8 N·m

Jawapan

|M| = 72.8 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 154.3 kN

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·3.5 = 55·3 + 75·5

R_B = 540/3.5 = 154.3 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 55 + 75 − 154.3 = −24.29 kN

Jawapan

R_B = 154.3 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 135 kN·m

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

W = 10·4 = 40 kN pada 2 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 55·3 + 40·2

R_D = 61.25 kN

V_C = 95 − 61.25 = 33.75 kN

Bahagian AC

Daya engsel V_C bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).

R_A = 33.75 = 33.75 kN

M_A = 33.75·4 = 135 kN·m

Jawapan

M_A = 135 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −36.44 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·3 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 18.75 = 31.25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/5.831 = 0.5145, cos γ = 5/5.831 = 0.8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.75/0.5145 = −36.44 kN

Jawapan

F_BC = −36.44 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 39.17 kN (T), BC: 61.67 kN (T), CD: 61.67 kN (T), DE: 30.83 kN (T), FG: 49.17 kN (C), GH: 40.83 kN (C), AF: 61.46 kN (C), HE: 38.54 kN (C), BF: 16.88 kN (T), CG: 0, DH: 23.13 kN (T), BG: 28.13 kN (C), DG: 38.54 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

7.Rangka & mesin

Jawapan: C = 1.944 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya tali ikat daripada kaki BC

B_y = 1 kN

T = 1·3/1.8 = 1.667 kN

Komponen daya pin pada BC

C_x = T = 1.667 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Magnitud

C = √(1.667² + 1²) = 1.944 kN

Jawapan

C = 1.944 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: C = 2.968 kN

Tindak balas penyokong pada B

B_y = 10·0.8/3.2 = 2.5 kN

Daya tali ikat

T = 2.5·1.6/2.5 = 1.6 kN

Daya pin pada BC

C_x = 1.6 kN, C_y = −2.5 kN

C = √(1.6² + 2.5²) = 2.968 kN

Jawapan

C = 2.968 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 33.33 kN, R₂ = 56.67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 33.33, M_C = 66.67, M_D = 100 kN·m, M_E = 78.33, M_F = 56.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 100 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 2 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 29 kN, R₂ = 46 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 29, M_C = 58 kN·m, M_D = 32, M_E = 6, M_F = −20, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 58 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 64.4 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (20000·100 − 1963·130)/(20000 − 1963) = 96.73 mm

Plat penuh pada ȳ

100·200³/12 + 20000·3.266² = 66.88 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·33.27² = 2.48 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 64.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 64.4 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 3.224 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

web: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·315 + 5400·150)/13200 = 247.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·30³/12 + 7800·(315 − 247.5)² = 3.612 × 10⁷ mm⁴

web: 18·300³/12 + 5400·(150 − 247.5)² = 9.183 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.612 × 10⁷ + 9.183 × 10⁷ = 1.28 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 330 − 247.5 = 82.5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·82.5/1.28 × 10⁸ = 3.224 MPa

Jawapan

σ_atas = 3.224 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics