Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Cari unjuran skalar compb a bagi a = (−4, 5, 6) pada b = (1, −4, −5), iaitu komponen a dalam arah b.
a = (−4, 5, 6)b = (1, −4, −5)
compb a =
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (4, 2, −5), b = (1, 3, 1) dan c = (−4, −5, −4).
a = (4, 2, −5)b = (1, 3, 1)c = (−4, −5, −4)
V =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 6 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RB, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 6 mAC = 10 mP1 = 45 kN pada 3 mP2 = 80 kN pada 10 m
RB = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 2.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Ia membawa beban titik P pada 1 m dari A dan beban teragih seragam w dari 1.5 m hingga hujung bebas pada 4 m. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 2.5 mAC = 4 mP = 80 kN pada 1 mw = 2 kN/m dari 1.5 hingga 4 m
RA = kN
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
B: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG
7.Rangka & mesinSederhana
Dalam pengapit togol yang ditunjukkan, dua penghubung AB dan BC yang sama dipin bersama di B, dan setiap satu membuat sudut 8° dengan garis AC. Daya ke bawah 100 N dikenakan pada B. Penggelongsor C menekan bahan kerja. Dengan mengabaikan geseran dan berat, cari daya pengapitan mengufuk Q.
F = 100 Nθ = 8°
Q = N
8.Rangka & mesinSukar
Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 120 mm antara pin. Sambungan B berada 20 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 5000 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.
Q = 5000 NAB = BC = 120 mmh = 20 mm
F = N
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.
60 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Cari momen lentur Mx pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.
L = 6 mP = 30 kN pada 2 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Keratan segi empat tepat berongga (kotak) mempunyai lebar luar B = 220 mm, tinggi luar H = 400 mm dan ketebalan dinding seragam t = 20 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.
B = 220 mmH = 400 mmt = 20 mm
r = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Plat 200 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.
b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 60 × 30 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: compb a = −8.332
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil darab titik
a·b = (−4)·1 + 5·(−4) + 6·(−5) = −54
Panjang b
|b| = √(1² + (−4)² + (−5)²) = 6.481
Unjuran skalar
compb a = a·b/|b| = −54/6.481 = −8.332
Jawapan
compb a = −8.332
Negatif: a mempunyai komponen yang menghala melawan b.
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: V = 63
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 3·(−4) − 1·(−5) = −7
(b × c)y = bzcx − bxcz = 1·(−4) − 1·(−4) = 0
(b × c)z = bxcy − bycx = 1·(−5) − 3·(−4) = 7
Hasil darab titik dengan a
a·(b × c) = 4·(−7) + 2·0 + (−5)·7 = −63
V = |−63| = 63
Jawapan
V = 63
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RB = 155.8 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·6 = 45·3 + 80·10
RB = 935/6 = 155.8 kN
Keseimbangan menegak
RA = 45 + 80 − 155.8 = −30.83 kN
Jawapan
RB = 155.8 kN
RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = 47.5 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Daya paduan beban teragih
W = 2·2.5 = 5 kN, x̄ = (1.5 + 4)/2 = 2.75 m
Keseimbangan
Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.
ΣMA = 0: RB·2.5 = 80·1 + 5·2.75
RB = 93.75/2.5 = 37.5 kN
RA = 85 − 37.5 = 47.5 kN
Jawapan
RA = 47.5 kN
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota CG
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).
Keseimbangan pin B
2·Flink·sin 8° = 100
Flink = 359.3 N
Daya pengapitan
Q = Flink·cos 8° = 100/(2·tan 8°) = 355.8 N
Jawapan
Q = 355.8 N
Nisbah daya Q/F = 3.558 bertambah tanpa had apabila penghubung diluruskan.
8.Rangka & mesin
Jawapan: F = 1690 N
Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).
Sudut penghubung
sin θ = 20/120 = 0.1667, θ = 9.594°
Daya penghubung
Flink = Q/cos θ = 5071 N
Daya pada B
F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 1690 N
Jawapan
F = 1690 N
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: D (x = 3 m)
Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).
Tindak balas penyokong
Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.
R1 = 45 kN, R2 = 45 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.
MA = 0, MB = 42.5, MC = 80, MD = 112.5 kN·m, ME = 80, MF = 42.5, MG = 0
Jawapan
Tanda D: MD = 112.5 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: Mx = 52 kN·m
Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh rasuk.
Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bertindak pada x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·2 + 3·6·3
RB = 114/6 = 19 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 19 = 29 kN
Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri
Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)
Mx = 29·2 − 3·2·1 = 52 kN·m
Jawapan
Mx = 52 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: r = 142.9 mm
Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.
Luas bersih dan momen luas kedua
b = 180 mm, h = 360 mm
A = BH − bh = 220·400 − 180·360 = 23200 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 4.735 × 10⁸ mm⁴
Jejari legaran
r = √(I/A) = √(4.735 × 10⁸/23200) = 142.9 mm
Jawapan
r = 142.9 mm
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 130.2 × 10⁶ mm⁴
Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.
Sentroid
ȳ = (40000·100 − 1800·60)/(40000 − 1800) = 101.9 mm