Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (−5, 3, 4) pada b = (−5, 4, 4), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (−5, 3, 4)b = (−5, 4, 4)

comp_b a =

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−40, −40, 0) N bertindak pada titik A(1, 1, 1). Koordinat dalam meter. Cari komponen-z M_z momen daya terhadap titik O(0, 2, −3).

F = (−40, −40, 0) NA(1, 1, 1) mO(0, 2, −3) m

M_z = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 15 kN pada 1 mP₂ = 40 kN pada 6 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_A.

L = 10 mP = 30 kN pada 6 mw = 10 kN/m dari 5 hingga 6 m

R_A = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

B: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 8 mtinggi = 4 mB ialah 6 m dari Abeban tegak = 45 kNbeban mengufuk = 20 kN ←

F_AC = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rasuk mengufuk AB dipin pada dinding di A dan ditopang oleh topang CD, dipin pada dinding di C, 1.2 m di bawah A. Beban 10 kN tergantung pada B. Abaikan berat. Cari magnitud daya pin A pada rasuk di A.

P = 10 kNAD = 0.75 mAB = 2.4 mAC = 1.2 m

A = kN

8.Rangka & mesinSukar

Bum seragam mengufuk AB berberat 3 kN dipin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 1.5 m di atas A. Beban 12 kN tergantung pada B. Cari magnitud tindak balas pin A.

W = 12 kNW_b = 3 kNAB = 2 mAC = 1.5 m

A = kN

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 30 kN·m pada x = 1.5 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 6 mM₀ = 30 kN·m ikut arah jam, pada 1.5 m

M_x = kN·m

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 40 kN pada 3 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan segi empat tepat berongga (kotak) mempunyai lebar luar B = 160 mm, tinggi luar H = 225 mm dan ketebalan dinding seragam t = 6 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

B = 160 mmH = 225 mmt = 6 mm

r = mm

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 10 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = 7.02

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−5)·(−5) + 3·4 + 4·4 = 53

Panjang b

|b| = √((−5)² + 4² + 4²) = 7.55

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = 53/7.55 = 7.02

Jawapan

comp_b a = 7.02

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: M_z = −80 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (1, 1, 1) − (0, 2, −3) = (1, −1, 4) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·0 − 4·(−40) = 160 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·(−40) − 1·0 = −160 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·(−40) − (−1)·(−40) = −80 N·m

Komponen yang diminta

M_z = −80 N·m

Jawapan

M_z = −80 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = −8.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1 + 40·6

R_B = 255/4 = 63.75 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 15 + 40 − 63.75 = −8.75 kN

Jawapan

R_A = −8.75 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 16.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, bertindak pada x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·6 + 10·1·5.5

R_B = 235/10 = 23.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 23.5 = 16.5 kN

Jawapan

R_A = 16.5 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota DH

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 42.5 kN (T), BC: 42.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 32.5 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 60.1 kN (C), HE: 45.96 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 10.61 kN (T), HC: 24.75 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: DH

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = 11.88 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 − 20·4 → C_y = 23.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 23.75 = 21.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −23.75/0.8944 = −26.55 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−26.55)·0.4472 = 11.88 kN

Jawapan

F_AC = 11.88 kN (tegangan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: A = 29.73 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Daya topang

F_CD = 10·2.4/(0.848·0.75) = 37.74 kN

Komponen di A

A_x = F_CD·cos α = 20 kN (ke arah dinding)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −22 kN

Magnitud

A = √(20² + −22²) = 29.73 kN

Jawapan

A = 29.73 kN

A_y negatif bermaksud dinding menarik rasuk ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawapan: A = 18.06 kN

Tegangan kabel

T = (12 + 3/2)/0.6 = 22.5 kN

Komponen di A

A_x = T·cos β = 18 kN

A_y = 12 + 3 − T·sin β = 1.5 kN

Magnitud

A = √(18² + 1.5²) = 18.06 kN

Jawapan

A = 18.06 kN

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 22.5 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/6 = 5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·1.5 + 30 = 22.5 kN·m

Jawapan

M_x = 22.5 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 12 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 8·4·2

R_B = 184/4 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 46 = 26 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 26·0.5 − 8·0.5·0.25 = 12 kN·m

Jawapan

M_x = 12 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 85.46 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

b = 148 mm, h = 213 mm

A = BH − bh = 160·225 − 148·213 = 4476 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3.269 × 10⁷ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(3.269 × 10⁷/4476) = 85.46 mm

Jawapan

r = 85.46 mm

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 13.22 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

web: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·230 + 4400·110)/9200 = 172.6 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 240·20³/12 + 4800·(230 − 172.6)² = 1.597 × 10⁷ mm⁴

web: 20·220³/12 + 4400·(110 − 172.6)² = 3.499 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.597 × 10⁷ + 3.499 × 10⁷ = 5.096 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 240 − 172.6 = 67.39 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·67.39/5.096 × 10⁷ = 13.22 MPa

Jawapan

σ_atas = 13.22 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics