Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.
1Formula dan kaedah
Vektor: hasil darab titik & silang
Magnitud
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor unit
û = a/|a|
Komponen daripada sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil darab titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b
a·b/|b|
Kerja
W = F·d
Hasil darab silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O
MO = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped
V = |a·(b × c)|
Kaedah
Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.
Tindak balas penyokong rasuk
Keseimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Kaedah
Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.
Kekuda: kaedah sambungan
Kaedah sambungan
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kaedah keratan
ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota
positif = tegangan, negatif = mampatan
Kaedah
Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.
Rangka & mesin
Keseimbangan setiap anggota
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya
daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin
sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuil, playar, engkol loceng
Fin·a = Fout·b
Togol
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam
paduan w·L di tengah beban
Kaedah
Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.
Daya ricih & momen lentur
Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8
Kaedah
Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.
Sentroid & momen luas kedua
Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soalan latihan
1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana
Daya malar F = (−5, 25, 5) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(2, 0, −3) ke titik B(1, −5, −4). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.
F = (−5, 25, 5) NA(2, 0, −3) mB(1, −5, −4) m
W = J
2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar
Cari isi padu V parallelepiped yang sisinya dari satu bucu ialah a = (4, −3, 2), b = (−4, 0, −1) dan c = (3, 4, 2).
a = (4, −3, 2)b = (−4, 0, −1)c = (3, 4, 2)
V =
3.Tindak balas penyokong rasukSederhana
Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 7 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak RA, dengan ke atas sebagai positif.
AB = 7 mAC = 10 mP1 = 25 kN pada 4 mP2 = 55 kN pada 10 m
RA = kN
4.Tindak balas penyokong rasukSukar
Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu sifar pada dinding dan naik kepada 4 kN/m di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 8 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas MA pada dinding.
L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 55 kN pada 8 m
MA = kN·m
5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana
Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.
C: 25 kN ↓D: 25 kN ↓G: 40 kN ↓
1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC
6.Kekuda: kaedah sambunganSukar
Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya FAB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.
rentang = 5 mtinggi = 2 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 30 kNbeban mengufuk = 20 kN ←
FAB = kN
7.Rangka & mesinSederhana
Rangka yang ditunjukkan mempunyai pin di A, B dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 3 m, dan B setinggi 2 m dari tanah dan 1.8 m di sebelah kanan A. Beban menegak 12 kN bertindak pada anggota AB di K, 0.72 m (secara mengufuk) dari A. Cari daya FBC dalam anggota BC.
P = 12 kNL = 3 mH = 2 mjarak mengufuk A ke B = 1.8 mjarak mengufuk A ke K = 0.72 m
FBC = kN
8.Rangka & mesinSukar
Rasuk AB pendakap dinding yang ditunjukkan dipin di A dan ditopang oleh topang CD (C berada 1.2 m di bawah A). Rasuk membawa beban seragam 1 kN/m sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik 3 kN pada hujung bebasnya B. Cari daya FCD dalam topang.
w = 1 kN/mP = 3 kNAD = 1.5 mAB = 2 mAC = 1.2 m
FCD = kN
9.Daya ricih & momen lenturSederhana
Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.
15 kN @ 2 m5 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Daya ricih & momen lenturSukar
Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.
45 kN @ 6 m60 kN @ 3 m15 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Sentroid & momen luas keduaSederhana
Tiub bulat mempunyai diameter luar D = 190 mm dan diameter dalam d = 174 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.
D = 190 mmd = 174 mm
r = mm
12.Sentroid & momen luas keduaSukar
Plat 120 mm × 300 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 210 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua Ix pada paksi mengufuk melalui sentroid.
b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 30 mmpusat lubang: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: W = −125 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Sesaran
d = B − A = (1, −5, −4) − (2, 0, −3) = (−1, −5, −1) m
Kerja
W = F·d = (−5)·(−1) + 25·(−5) + 5·(−1) = −125 J
Jawapan
W = −125 J
Kerja negatif: daya bertindak kebanyakannya melawan gerakan.
2.Vektor: hasil darab titik & silang
Jawapan: V = 31
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil darab silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 0·2 − (−1)·4 = 4
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·3 − (−4)·2 = 5
(b × c)z = bxcy − bycx = (−4)·4 − 0·3 = −16
Hasil darab titik dengan a
a·(b × c) = 4·4 + (−3)·5 + 2·(−16) = −31
V = |−31| = 31
Jawapan
V = 31
3.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: RA = −12.86 kN
Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.
Momen pada A
Lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: RB·7 = 25·4 + 55·10
RB = 650/7 = 92.86 kN
Keseimbangan menegak
RA = 25 + 55 − 92.86 = −12.86 kN
Jawapan
RA = −12.86 kN
RA negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.
4.Tindak balas penyokong rasuk
Jawapan: MA = 573.3 kN·m
Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak RA dan momen tindak balas MA. ΣFy = 0 memberikan RA, dan momen pada dinding memberikan MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.
Daya paduan beban segi tiga
W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = 2L/3 = 6.667 m
Momen pada dinding
MA = W·x̄ + P·a = 20·6.667 + 55·8 = 573.3 kN·m
Jawapan
MA = 573.3 kN·m
5.Kekuda: kaedah sambungan
Jawapan: anggota BF
Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.
Sendi B
AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Semak dengan kaedah sendi
Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).
Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.
Tindak balas penyokong
Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·3 − 20·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 10 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Sambungan A
Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.
sin α = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0.5547 = −36.06 kN
Jawapan
FAB = −36.06 kN (mampatan)
7.Rangka & mesin
Jawapan: FBC = 3.359 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Anggota dua daya BC
BC = √(1.2² + 2²) = 2.332 m
Seluruh rangka: momen pada A
Tanah menolak BC pada C sepanjang CB; komponen mengufuknya melalui A, hanya yang menegak mempunyai momen.
FBC·(2/2.332)·3 = 12·0.72
FBC = 3.359 kN (mampatan)
Jawapan
FBC = 3.359 kN
8.Rangka & mesin
Jawapan: FCD = 8.537 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣFx = 0, ΣFy = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.
Paduan beban seragam
w·L = 1·2 = 2 kN pada 1 m
Momen pada A untuk rasuk
FCD·0.6247·1.5 = 2·1 + 3·2 = 8 kN·m
FCD = 8.537 kN
Jawapan
FCD = 8.537 kN
9.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: C (x = 2 m)
Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).
Tindak balas penyokong
Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.
R1 = 24.58 kN, R2 = 15.42 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.
MA = 0, MB = 22.08, MC = 39.17 kN·m, MD = 36.25, ME = 28.33, MF = 15.42, MG = 0
Jawapan
Tanda C: MC = 39.17 kN·m
10.Daya ricih & momen lentur
Jawapan: D (x = 3 m)
Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).
Tindak balas penyokong
Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.
R1 = 52.5 kN, R2 = 127.5 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.
MA = 0, MB = 45, MC = 75, MD = 90 kN·m, ME = 30, MF = −45, MG = 0
Jawapan
Tanda D: MD = 90 kN·m
11.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: r = 64.41 mm
Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = Ic + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.
Luas bersih dan momen luas kedua
A = π(D² − d²)/4 = 4574 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.898 × 10⁷ mm⁴
Jejari legaran
r = √(I/A) = √(1.898 × 10⁷/4574) = 64.41 mm
Jawapan
r = 64.41 mm
12.Sentroid & momen luas kedua
Jawapan: Ix = 263 × 10⁶ mm⁴
Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai Ic = bh³/12 dan bulatan Ic = πd⁴/64.
Sentroid
ȳ = (36000·150 − 1800·210)/(36000 − 1800) = 146.8 mm