Statik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Rangka & mesin

Keseimbangan setiap anggota: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Anggota dua daya: daya sepanjang garis melalui kedua-dua pinnya
Daya pin: sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya
Magnitud daya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuil, playar, engkol loceng: F_in·a = F_out·b
Togol: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban

Kaedah

Lukis seluruh struktur dan cari tindak balas penyokong jika ketakdiketahuinya tidak lebih daripada tiga.
Kenal pasti anggota dua daya: dibebani hanya pada dua pin, dayanya bertindak sepanjang garis antara pin.
Pisahkan rangka dan lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah di mana anggota bertemu.
Untuk setiap anggota, ambil momen pada pin yang mempunyai daya tidak diketahui, kemudian gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi magnitud pada akhirnya.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soalan latihan

1.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari sudut θ antara vektor a = (−3, 0, 3) dan b = (5, −5, −3), dalam darjah.

a = (−3, 0, 3)b = (5, −5, −3)

θ = °

2.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Daya F = (−20, 20, 40) N bertindak pada titik A(−1, 4, 3). Koordinat dalam meter. Cari magnitud |M| momen daya terhadap titik O(−3, −1, −1).

F = (−20, 20, 40) NA(−1, 4, 3) mO(−3, −1, −1) m

|M| = N·m

3.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 2.5 m dari A dan pasangan daya ikut arah jam M pada 1 m dari A. Cari tindak balas menegak R_A, dengan ke atas sebagai positif.

L = 4 mP = 10 kN pada 2.5 mM = 30 kN·m (ikut arah jam) pada 1 m

R_A = kN

4.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai penyokong pin di A dan penyokong penggelek di B. Cari tindak balas penyokong tegak R_B.

L = 5 mP = 35 kN pada 3 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 2 m

R_B = kN

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 5 m dari Abeban tegak = 35 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_BC dalam anggota BC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 3 mB ialah 1 m dari Abeban tegak = 30 kNbeban mengufuk = 5 kN ←

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSederhana

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri pada pin di A dan penggelek di B, berjarak 3 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4 m dan tali ikat mengufuk DE 1.8 m di atas tanah. Beban menegak 15 kN bertindak pada kaki AC di K, 0.9 m (secara mengufuk) dari A. Cari tegangan T dalam tali ikat.

P = 15 kNAB = 3 mketinggian C = 4 mketinggian DE = 1.8 mjarak mengufuk A ke K = 0.9 m

T = kN

8.Rangka & mesinSukar

Penekan togol mempunyai dua penghubung yang sama AB dan BC, setiap satu sepanjang 150 mm antara pin. Sambungan B berada 10 mm di atas garis AC. Daya ke bawah F yang manakah pada B menghasilkan daya penekan mengufuk 5000 N pada penggelongsor C? Abaikan geseran dan berat.

Q = 5000 NAB = BC = 150 mmh = 10 mm

F = N

9.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 4 m15 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 0 m50 kN @ 6 m60 kN @ 2 m15 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 140 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 190 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 16 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 140 mmh = 190 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 210 mm dan setebal 18 mm, kedalaman keseluruhan 400 mm dan web setebal 12 mm. Ia menanggung momen lentur 40 kN·m pada paksi x. Cari magnitud tegasan lentur σ_j pada simpang antara web dengan bebibir atas.

B = 210 mmH = 400 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: θ = 137.4 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−3)·5 + 0·(−5) + 3·(−3) = −24

Magnitud

|a| = √((−3)² + 0² + 3²) = 4.243

|b| = √(5² + (−5)² + (−3)²) = 7.681

Sudut

cos θ = −24/(4.243·7.681) = −0.7365

θ = arccos(−0.7365) = 137.4°

Jawapan

θ = 137.4°

2.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: |M| = 244.1 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor kedudukan dari O ke A

r = A − O = (−1, 4, 3) − (−3, −1, −1) = (2, 5, 4) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 5·40 − 4·20 = 120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·(−20) − 2·40 = −160 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·20 − 5·(−20) = 140 N·m

Magnitud

|M| = √(120² + (−160)² + 140²) = 244.1 N·m

Jawapan

|M| = 244.1 N·m

3.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = −3.75 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 10·2.5 − 30 = 0

R_B = 55/4 = 13.75 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 10 − 13.75 = −3.75 kN

Jawapan

R_A = −3.75 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

4.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 22.2 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada sebarang titik. Mengambil momen pada satu penyokong menyingkirkan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Gambar rajah jasad bebas

Gantikan penyokong dengan daya tindak balas. Penggelek memberikan satu tindak balas tegak; dengan beban tegak sahaja, pin juga memberikan satu tindak balas tegak.

Keseimbangan

Momen pada A, lawan arah jam positif. Kemudian keseimbangan daya tegak.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN, bertindak pada x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·3 + 3·2·1

R_B = 111/5 = 22.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 41 − 22.2 = 18.8 kN

Jawapan

R_B = 22.2 kN

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −15.71 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·5 → C_y = 29.17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 29.17 = 5.833 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5.833/0.3714 = −15.71 kN

Jawapan

F_AB = −15.71 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_BC = −5.303 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·1 − 5·3 → C_y = 3.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 3.75 = 26.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.75/0.7071 = −5.303 kN

Jawapan

F_BC = −5.303 kN (mampatan)

7.Rangka & mesin

Jawapan: T = 3.068 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti kekuda, rangka mengandungi sekurang-kurangnya satu anggota yang membawa daya pada lebih daripada dua titik, atau beban di antara pinnya. Pertama cari anggota dua daya: anggota yang dibebani hanya pada dua pin mempunyai dayanya sepanjang garis melalui keduanya, jadi ia menambah satu ketakdiketahuan, bukan dua. Kemudian gunakan seluruh struktur untuk tindak balas penyokong apabila ketakdiketahuan tidak lebih daripada tiga. Akhirnya pisahkan rangka: lukis setiap anggota secara berasingan, dengan daya pin yang sama besar dan bertentangan arah pada kedua-dua anggota yang disambungnya, dan tulis ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen pada pin menyingkirkan kedua-dua komponen daya pin itu daripada persamaan.

Seluruh rangka: momen pada A

B_y = 15·0.9/3 = 4.5 kN

Kaki BC: momen pada C

4.5·1.5 = T·2.2

T = 3.068 kN

Jawapan

T = 3.068 kN

8.Rangka & mesin

Jawapan: F = 668.2 N

Mesin: playar, tuil, penghubung dan pengapit menukarkan daya input kepada daya output yang lebih besar atau berarah berbeza. Lukis satu bahagian sebagai jasad bebas dan ambil momen pada pivotnya: daya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberikan kelebihan mekanikal a/b. Daya pin kemudian diperoleh daripada ΣF = 0 pada bahagian yang sama. Dalam togol, dua penghubung bertemu pada sudut cetek θ; setiap penghubung ialah anggota dua daya, jadi daya kecil F pada sambungan menghasilkan daya penghubung yang besar F/(2 sin θ) dan daya pengapitan F/(2 tan θ).

Sudut penghubung

sin θ = 10/150 = 0.06667, θ = 3.823°

Daya penghubung

F_link = Q/cos θ = 5011 N

Daya pada B

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 668.2 N

Jawapan

F = 668.2 N

9.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 29.17 kN, R₂ = 25.83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 58.33, M_C = 116.7 kN·m, M_D = 95, M_E = 73.33, M_F = 51.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda C: M_C = 116.7 kN·m

10.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 5 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 100 kN, R₂ = 100 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 32.5, M_D = 20, M_E = −7.5, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −50 kN·m

11.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 28.51 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 140·16 = 2240 mm², y₁ = 8 mm

dua kaki: A₂ = 2·16·174 = 5568 mm², y₂ = 16 + 174/2 = 103 mm

Sentroid

ȳ = (2240·8 + 5568·103)/7808 = 75.75 mm

Teorem paksi selari

bes: 140·16³/12 + 2240·(8 − 75.75)² = 1.033 × 10⁷ mm⁴

dua kaki: 2·16·174³/12 + 5568·(103 − 75.75)² = 1.818 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.033 × 10⁷ + 1.818 × 10⁷

I_x = 2.851 × 10⁷ mm⁴ = 28.51 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 28.51 × 10⁶ mm⁴

12.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_j = 22.45 MPa

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 400 − 2·18 = 364 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·400³ − 198·364³)/12

I_x = 3.242 × 10⁸ mm⁴

Tegasan lenturan

y = 200 − 18 = 182 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·182/3.242 × 10⁸ = 22.45 MPa

Jawapan

σ_j = 22.45 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics