Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 49, 59, 44, 38, 21, 47, 56.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 38?
μ = 50σ = 8x = 38
P =
3.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 7 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 7
P =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €15 dengan kebarangkalian 0.25 dan €50 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €5€15: p = 0.25€50: p = 0.05
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 82 dan 112 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 100σ = 15x1 = 82x2 = 112
P =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 60% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 178 cmσ = 7 cm60%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 30 item mempunyai min 88.5 dan sisihan piawai s = 18.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.
n = 30x̄ = 88.5s = 18.599%t(29) = 2.756
E =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 29. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?
σ = 29E = 2.590%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 103.6 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103.6s = 5n = 16
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 60 daripada 200 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 25 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 25n₂ = 100
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (7, 20) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(7, 20)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 12.67
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 314/7 = 44.86
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 4.143² + 14.14² + (−0.8571)² + (−6.857)² + (−23.86)² + 2.143² + 11.14² = 962.9
Sisihan piawai
s = √(962.9/6) = 12.67
Jawapan
s = 12.67
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.9332
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −1.5
Jadual normal piawai
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
Jawapan
P = 0.9332
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.7209
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
Jawapan
P = 0.7209
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 1.25 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 10 (p = 0.25), 45 (p = 0.05), −5 (p = 0.7)
Nilai jangkaan
E(G) = 10·0.25 + 45·0.05 − 5·0.7 = 1.25 €
Jawapan
E(G) = 1.25 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6731
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (82 − 100)/15 = −1.2
z₂ = (112 − 100)/15 = 0.8
Luas antara
P = Φ(0.8) − Φ(−1.2) = 0.7881 − 0.1151 = 0.6731
Jawapan
P = 0.6731
6.Taburan normal
Jawapan: x = 179.8 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.6
z daripada jadual
z ≈ 0.25
Kembali kepada unit asal
x = 178 + 0.25·7 = 179.8 cm
Jawapan
x = 179.8 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 9.309
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 29, t = 2.756
Margin ralat
E = 2.756·18.5/√30 = 9.309
Jawapan
E = 9.309
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 365
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·29/2.5)² = 364.1
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 365
Jawapan
n = 365
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.88
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25
Statistik ujian
t = (103.6 − 100)/1.25 = 2.88
Jawapan
t = 2.88
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 0.906
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 60/200 = 0.3
p̂₂ = 25/100 = 0.25
p̂ = 85/300 = 0.2833
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.2833·0.7167·(1/200 + 1/100)) = 0.05519
Statistik ujian
z = (0.3 − 0.25)/0.05519 = 0.906
Jawapan
z = 0.906
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.8839
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 119/5 = 23.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10
Syy = Σ(y − ȳ)² = 12.8
Pekali korelasi
r = −10/√(10·12.8) = −0.8839
Jawapan
r = −0.8839
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 3.15
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 72/5 = 14.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
Garis regresi
b = 98/40 = 2.45
a = 14.4 − 2.45·6 = −0.3
ŷ = −0.3 + 2.45·x
Nilai ramalan
ŷ = −0.3 + 2.45·7 = 16.85
Reja
e = 20 − 16.85 = 3.15
Jawapan
e = 3.15
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1