Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 34, 52, 46, 28, 14, 60.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 77.2?
μ = 70σ = 12x = 77.2
P =
3.KebarangkalianSederhana
Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 9? Susunan tidak penting.
n = 9k = 4
N =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €20 dengan kebarangkalian 0.1 dan €500 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €10€20: p = 0.1€500: p = 0.02
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 57 dan 75.5 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 75.5
P =
6.Taburan normalSukar
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 40% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 100 markahσ = 15 markah40%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 7 item mempunyai min 45 dan sisihan piawai s = 9.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.
n = 7x̄ = 45s = 9.595%t(6) = 2.447
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 33. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?
σ = 33E = 0.590%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
11 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 4.59 dan sisihan piawai beza ialah 3.9. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 4.59sd = 3.9
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 105 daripada 300 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 18 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 105n₁ = 300x₂ = 18n₂ = 80
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 9?
n = 5ŷ = 9
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 16.91
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 234/6 = 39
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−5)² + 13² + 7² + (−11)² + (−25)² + 21² = 1430
Sisihan piawai
s = √(1430/5) = 16.91
Jawapan
s = 16.91
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.7257
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 0.6
Jadual normal piawai
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
Jawapan
P = 0.7257
3.Kebarangkalian
Jawapan: N = 126
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Gabungan
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
Jawapan
N = 126
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 2 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 10 (p = 0.1), 490 (p = 0.02), −10 (p = 0.88)
Nilai jangkaan
E(G) = 10·0.1 + 490·0.02 − 10·0.88 = 2 €
Jawapan
E(G) = 2 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6413
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (57 − 65)/10 = −0.8
z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05
Luas antara
P = Φ(1.05) − Φ(−0.8) = 0.8531 − 0.2119 = 0.6413
Jawapan
P = 0.6413
6.Taburan normal
Jawapan: x = 96.3 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.4
z daripada jadual
z ≈ −0.25
Kembali kepada unit asal
x = 100 − 0.25·15 = 96.3 markah
Jawapan
x = 96.3 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 53.79
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 6, t = 2.447
Margin ralat
E = 2.447·9.5/√7 = 8.786
Selang
45 ± 8.786 → [36.21, 53.79]
Jawapan
had atas = 53.79
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 11788
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·33/0.5)² = 11787
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 11788
Jawapan
n = 11788
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 3.903
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai bagi min beza
SE = 3.9/√11 = 1.176
Statistik ujian
t = 4.59/1.176 = 3.903
Jawapan
t = 3.903
Dengan df = 10, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.228; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 2.123
Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 105/300 = 0.35
p̂₂ = 18/80 = 0.225
p̂ = 123/380 = 0.3237
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.3237·0.6763·(1/300 + 1/80)) = 0.05887
Statistik ujian
z = (0.35 − 0.225)/0.05887 = 2.123
Jawapan
z = 2.123
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9901
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 286/6 = 47.67
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198
Syy = Σ(y − ȳ)² = 571.3
Pekali korelasi
r = 198/√(70·571.3) = 0.9901
Jawapan
r = 0.9901
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 2.87
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 81/5 = 16.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Garis regresi
b = 92/40 = 2.3
a = 16.2 − 2.3·6 = 2.4
ŷ = 2.4 + 2.3·x
Selesaikan untuk x
x = (9 − 2.4)/2.3 = 2.87
Jawapan
x = 2.87
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1