Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
20253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 49, 47, 45, 38, 54, 21, 17.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 43.6.

μ = 50σ = 8x = 43.6
z =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 3biru: 5

Sebuah beg mengandungi 3 bebola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

3 / 5
P =
4.KebarangkalianSukar
n = 5, p = 0.2: P(X ≤ 1) = ?k012345

5 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 5p = 0.2
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek di sebelah kanan z = 0.7642

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.7642. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.7642
z =
6.Taburan normalSukar
35455565758595markahbawah 75%

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 75% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 65 markahσ = 10 markah75%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 99.5 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Model 2: 100 telefon, min 94.5 j, sisihan piawai diketahui 10 j. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 99.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 94.5 hσ₂ = 10 h99%
had bawah = h
8.Selang keyakinanSukar
n = 15Lσ = ?s = 0.895%

Diameter 15 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 0.8 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 14, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 5.629 dan 2.5% terletak di atas 26.119.

n = 15s = 0.8 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.9901.99

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 48.13 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48.13s = 12n = 81
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
−1.961.96z = ?

Dalam satu percubaan, 130 daripada 200 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 135 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 135n₂ = 250
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy24410698121019xy5105101520

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy21241862783310411250xy5102040x = 5

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.

n = 6x = 5
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.34

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 271/7 = 38.71

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 10.29² + 8.286² + 6.286² + (−0.7143)² + 15.29² + (−17.71)² + (−21.71)² = 1233

Sisihan piawai

s = √(1233/6) = 14.34

Jawapan

s = 14.34
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.8

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (43.6 − 50)/8 = −0.8

Jawapan

z = −0.8
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1071

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0.1071

Jawapan

P = 0.1071
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.7373

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.85 = 0.3277
P(X = 1) = 5·0.2·0.84 = 0.4096

Tambahkannya

P = 0.3277 + 0.4096 = 0.7373

Jawapan

P = 0.7373
5.Taburan normal

Jawapan: z = −0.72

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.7642 = 0.2358

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.2358 di dalam jadual dan baca z.

z = −0.72

Jawapan

z = −0.72
6.Taburan normal

Jawapan: x = 71.7 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.75

z daripada jadual

z ≈ 0.67

Kembali kepada unit asal

x = 65 + 0.67·10 = 71.7 markah

Jawapan

x = 71.7 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −0.2792 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 99.5 − 94.5 = 5

Ralat piawai

SE = √(16²/80 + 10²/100) = 2.049

Margin ralat

E = 2.576·2.049 = 5.279

Selang

5 ± 5.279 → [−0.2792, 10.28]

Jawapan

had bawah = −0.2792 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 1.262 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 14·0.8² = 8.96

Had bagi σ²

8.96/26.119 = 0.343
8.96/5.629 = 1.592

Had bagi σ

σ = √1.592 = 1.262 µm

Jawapan

σ = 1.262 µm

Selang 95% bagi σ: [0.5857, 1.262] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.402

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

Statistik ujian

t = (48.13 − 50)/1.333 = −1.402

Jawapan

t = −1.402
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.357

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 130/200 = 0.65
p̂₂ = 135/250 = 0.54
p̂ = 265/450 = 0.5889

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.5889·0.4111·(1/200 + 1/250)) = 0.04668

Statistik ujian

z = (0.65 − 0.54)/0.04668 = 2.357

Jawapan

z = 2.357

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9284

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 54/5 = 10.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Syy = Σ(y − ȳ)² = 118.8

Pekali korelasi

r = 64/√(40·118.8) = 0.9284

Jawapan

r = 0.9284
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 22.6

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 181/6 = 30.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 265

Garis regresi

b = 265/70 = 3.786
a = 30.17 − 3.786·7 = 3.667
ŷ = 3.667 + 3.786·x

Ramalan

ŷ = 3.667 + 3.786·5 = 22.6

Jawapan

ŷ = 22.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1