Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 32, 24, 51, 26, 31, 31.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 52?
μ = 60σ = 10x = 52
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.35, 0.15, 0.2
σ =
4.KebarangkalianSukar
7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 7p = 0.6
P =
5.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 769.7 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769.7 g
P =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 30% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 9 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 5.8 dan sisihan piawai 4.6. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min beza.
n = 9d̄ = 5.8sd = 4.695%t(8) = 2.306
E = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 4. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?
σ = 4E = 195%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 92.67 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 92.67s = 20n = 36
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 103.6. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 100μ = 103.6σ = 12n = 64α = 0.05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 110Σy = 617Σx² = 2510Σy² = 79615Σxy = 14129
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.
n = 5x = 3
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 9.013
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 222/7 = 31.71
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−4.714)² + 0.2857² + (−7.714)² + 19.29² + (−5.714)² + (−0.7143)² + (−0.7143)² = 487.4
Sisihan piawai
s = √(487.4/6) = 9.013
Jawapan
s = 9.013
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.2119
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
Jawapan
P = 0.2119
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.09
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.15 + 4·0.2 = 2.25
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.15 + 16·0.2 = 6.25
Varians
Var(X) = 6.25 − 2.25² = 1.188
σ = √1.188 = 1.09
Jawapan
σ = 1.09
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.01884
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.47 = 0.001638
P(X = 1) = 7·0.6·0.46 = 0.0172
Tambahkannya
P = 0.001638 + 0.0172 = 0.01884
Jawapan
P = 0.01884
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.02275
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
Piawaikan
z = (769.7 − 750)/9.849 = 2
Ekor atas
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275
Jawapan
P = 0.02275
6.Taburan normal
Jawapan: x = 174.4 cm
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.3
z daripada jadual
z ≈ −0.52
Kembali kepada unit asal
x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm
Jawapan
x = 174.4 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 3.536 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 8, t = 2.306
Margin ralat
E = 2.306·4.6/√9 = 3.536
Jawapan
E = 3.536 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 62
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·4/1)² = 61.47
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 62
Jawapan
n = 62
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −2.199
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333
Statistik ujian
t = (92.67 − 100)/3.333 = −2.199
Jawapan
t = −2.199
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 77.49 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 100 + 1.645·1.5 = 102.5
z di bawah min sebenar
z = (102.5 − 103.6)/1.5 = −0.755
Kuasa
kuasa = P(Z > −0.755) = 77.49%
1 − β = 77.49%
Jawapan
1 − β = 77.49%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9921
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 14129 − 110·617/5 = 555
Sxx = 2510 − 110²/5 = 90
Syy = 79615 − 617²/5 = 3477
Pekali korelasi
r = 555/√(90·3477) = 0.9921
Jawapan
r = 0.9921
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 8.85
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 84/5 = 16.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Garis regresi
b = 106/40 = 2.65
a = 16.8 − 2.65·6 = 0.9
ŷ = 0.9 + 2.65·x
Ramalan
ŷ = 0.9 + 2.65·3 = 8.85
Jawapan
ŷ = 8.85
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1