Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 60, 34, 42, 29, 57.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 40. Cari skor-z z bagi skor 452.

μ = 500σ = 40x = 452

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.1, 0.2, 0.25, 0.3

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €15 dengan kebarangkalian 0.3 dan €250 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€15: p = 0.3€250: p = 0.05

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 166.8 dan 179.75 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 166.8x₂ = 179.75

P =

6.Taburan normalSukar

Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 100.5 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Model 2: 30 telefon, min 113.5 j, sisihan piawai diketahui 6 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 100.5 hσ₁ = 13 hn₂ = 30x̄₂ = 113.5 hσ₂ = 6 h95%

had atas = h

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 30 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 1.7 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 29, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 16.047 dan 2.5% terletak di atas 45.722.

n = 30s = 1.7 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 60 bahagian mempunyai min panjang 124.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 12 mm. Talian 2: sampel 80 bahagian mempunyai min 130.5 mm, sisihan piawai diketahui 19 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 60x̄₁ = 124.5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 80x̄₂ = 130.5 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 499.8. Sisihan piawai populasi ialah 5. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 499.8σ = 5n = 10090%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.32

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 269/6 = 44.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 2.167² + 15.17² + (−10.83)² + (−2.833)² + (−15.83)² + 12.17² = 758.8

Sisihan piawai

s = √(758.8/5) = 12.32

Jawapan

s = 12.32

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Piawaikan

z = (452 − 500)/40 = −1.2

Jawapan

z = −1.2

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.396

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.25 + 5·0.3 = 3.45

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.25 + 25·0.3 = 13.85

Varians

Var(X) = 13.85 − 3.45² = 1.947

σ = √1.947 = 1.396

Jawapan

σ = 1.396

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 12 €

Hasil bersih

G: 10 (p = 0.3), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.65)

Nilai jangkaan

E(G) = 10·0.3 + 245·0.05 − 5·0.65 = 12 €

Jawapan

E(G) = 12 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.5439

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6

z₂ = (179.75 − 178)/7 = 0.25

Luas antara

P = Φ(0.25) − Φ(−1.6) = 0.5987 − 0.0548 = 0.5439

Jawapan

P = 0.5439

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Piawaikan

z = (0 − 10)/10 = −1

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = −8.805 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 100.5 − 113.5 = −13

Ralat piawai

SE = √(13²/50 + 6²/30) = 2.14

Margin ralat

E = 1.96·2.14 = 4.195

Selang

−13 ± 4.195 → [−17.19, −8.805]

Jawapan

had atas = −8.805 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 2.285 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 29·1.7² = 83.81

Had bagi σ²

83.81/45.722 = 1.833

83.81/16.047 = 5.223

Had bagi σ

σ = √5.223 = 2.285 µm

Jawapan

σ = 2.285 µm

Selang 95% bagi σ: [1.354, 2.285] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −2.282

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(12²/60 + 19²/80) = √6.912 = 2.629

Statistik ujian

z = (124.5 − 130.5)/2.629 = −2.282

Jawapan

z = −2.282

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 499

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·5/√100 = 0.8225

Had selang

L = 499.8 − 0.8225 = 499

Jawapan

L = 499

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.8521

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 394/6 = 65.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 283.3

Pekali korelasi

r = 60/√(17.5·283.3) = 0.8521

Jawapan

r = 0.8521

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 53.95

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 246/5 = 49.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

Garis regresi

b = 190/40 = 4.75

a = 49.2 − 4.75·5 = 25.45

ŷ = 25.45 + 4.75·x

Ramalan

ŷ = 25.45 + 4.75·6 = 53.95

Jawapan

ŷ = 53.95

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1