Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
152025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 38, 21, 56, 12, 12, 25, 15.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 57.5?

μ = 60σ = 5x = 57.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.310.3520.35μ = 1.05

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
σ =
4.KebarangkalianSukar
n = 5, p = 0.5: P(X ≤ 1) = ?k012345

5 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 5p = 0.5
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek di sebelah kanan z = 0.0537

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0537. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.0537
z =
6.Taburan normalSukar
35455565758595markahbawah 20%

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 20% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 65 markahσ = 10 markah20%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 16, s = 20LU = ?x̄ = 93.5E99%

Satu sampel 16 item mempunyai min 93.5 dan sisihan piawai s = 20. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 16x̄ = 93.5s = 2099%t(15) = 2.947
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

Sisihan piawai populasi ialah 24. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 24E = 195%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−1.34p = ?

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 500; sisihan piawai populasi diketahui ialah 6. Satu sampel rawak 36 cerapan mempunyai min 498.66. Uji H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500. Cari nilai-p p.

μ₀ = 500σ = 6n = 36x̄ = 498.66H₁: μ < μ₀
p =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 25 ukuran mempunyai min 99. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 99σ = 8n = 2595%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy12221931641451166xy2465101520

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy243351453559659761xy2465060x = 4.5

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 57) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(4.5, 57)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.24

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 179/7 = 25.57

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 12.43² + (−4.571)² + 30.43² + (−13.57)² + (−13.57)² + (−0.5714)² + (−10.57)² = 1582

Sisihan piawai

s = √(1582/6) = 16.24

Jawapan

s = 16.24
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.6915

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915

Jawapan

P = 0.6915
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8047

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

Varians

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047

Jawapan

σ = 0.8047
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1875

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.55 = 0.03125
P(X = 1) = 5·0.5·0.54 = 0.1563

Tambahkannya

P = 0.03125 + 0.1563 = 0.1875

Jawapan

P = 0.1875
5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.61

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.0537 = 0.9463

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9463 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.61

Jawapan

z = 1.61
6.Taburan normal

Jawapan: x = 56.6 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.2

z daripada jadual

z ≈ −0.84

Kembali kepada unit asal

x = 65 − 0.84·10 = 56.6 markah

Jawapan

x = 56.6 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 108.2

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.947

Margin ralat

E = 2.947·20/√16 = 14.73

Selang

93.5 ± 14.73 → [78.77, 108.2]

Jawapan

had atas = 108.2
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 2213

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·24/1)² = 2213

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 2213

Jawapan

n = 2213
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.09012

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 6/√36 = 1
z = (498.66 − 500)/1 = −1.34

Luas ekor

Φ(1.34) = 0.9099
1 − Φ(1.34) = 0.0901

Nilai-p

p = 0.09012

Jawapan

p = 0.09012

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 102.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·8/√25 = 3.136

Had selang

U = 99 + 3.136 = 102.1

Jawapan

U = 102.1
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9827

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 88/6 = 14.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53
Syy = Σ(y − ȳ)² = 163.3

Pekali penentuan

r² = −53²/(17.5·163.3) = 0.9827

Jawapan

r² = 0.9827

Kira-kira 98.27% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.667

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 326/6 = 54.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Garis regresi

b = 60/17.5 = 3.429
a = 54.33 − 3.429·4.5 = 38.9
ŷ = 38.9 + 3.429·x

Nilai ramalan

ŷ = 38.9 + 3.429·4.5 = 54.33

Reja

e = 57 − 54.33 = 2.667

Jawapan

e = 2.667

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1