Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 29, 10, 13, 55, 20.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 185?

μ = 170σ = 12x = 185

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 10. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.15, 0.15, 0.35Y = 5X + 10

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.6970. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.6970

z =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 20% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 11 item mempunyai min 105 dan sisihan piawai s = 8. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 11x̄ = 105s = 890%t(10) = 1.812

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 22. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 22E = 290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 40 bahagian mempunyai min panjang 65 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 15 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 55.1 mm, sisihan piawai diketahui 19 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 40x̄₁ = 65 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 60x̄₂ = 55.1 mmσ₂ = 19 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ < 100 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 15. Pada hakikatnya min ialah 95.8. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 100μ = 95.8σ = 15n = 100α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (25.5, 121) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(25.5, 121)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.63

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 143/6 = 23.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−7.833)² + 5.167² + (−13.83)² + (−10.83)² + 31.17² + (−3.833)² = 1383

Sisihan piawai

s = √(1383/5) = 16.63

Jawapan

s = 16.63

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1056

Piawaikan

z = 1.25

Jadual normal piawai

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

Jawapan

P = 0.1056

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 0.6475

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

Jawapan

Var(X) = 0.6475

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 12.85

Serakan X

μ = 3, Var(X) = 6.6, σ_X = 2.569

Perubahan linear

σ_Y = |5|·2.569 = 12.85

Jawapan

σ_Y = 12.85

Min memang berubah: E(Y) = 5·3 + 10 = 25.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.03

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.6970)/2 = 0.8485

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.8485 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.03

Jawapan

z = 1.03

6.Taburan normal

Jawapan: x = 183.9 cm

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.8

z daripada jadual

z ≈ 0.84

Kembali kepada unit asal

x = 178 + 0.84·7 = 183.9 cm

Jawapan

x = 183.9 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 109.4

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 10, t = 1.812

Margin ralat

E = 1.812·8/√11 = 4.371

Selang

105 ± 4.371 → [100.6, 109.4]

Jawapan

had atas = 109.4

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 328

Selesaikan untuk n

n = (1.645·22/2)² = 327.4

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 328

Jawapan

n = 328

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.902

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(15²/40 + 19²/60) = √11.64 = 3.412

Statistik ujian

z = (65 − 55.1)/3.412 = 2.902

Jawapan

z = 2.902

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 87.6 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 15/√100 = 1.5

x̄_c = 100 − 1.645·1.5 = 97.53

z di bawah min sebenar

z = (97.53 − 95.8)/1.5 = 1.155

Kuasa

kuasa = P(Z < 1.155) = 87.6%

1 − β = 87.6%

Jawapan

1 − β = 87.6%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.8724

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 116/6 = 19.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 71.33

Pekali penentuan

r² = −33²/(17.5·71.33) = 0.8724

Jawapan

r² = 0.8724

Kira-kira 87.24% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −2.85

Min

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 509/5 = 101.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441

Garis regresi

b = 441/90 = 4.9

a = 101.8 − 4.9·21 = −1.1

ŷ = −1.1 + 4.9·x

Nilai ramalan

ŷ = −1.1 + 4.9·25.5 = 123.8

Reja

e = 121 − 123.8 = −2.85

Jawapan

e = −2.85

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1