Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 35, 29, 56, 42, 25.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 52?
μ = 60σ = 10x = 52
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.2, 0.2, 0.35
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €12 dengan kebarangkalian 0.2 dan €60 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €3€12: p = 0.2€60: p = 0.05
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 4 daripadanya melebihi 388 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 388 kg
P =
6.Taburan normalSukar
Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 15 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 7 dan sisihan piawai 5.1. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min beza.
n = 15d̄ = 7sd = 5.199%t(14) = 2.977
had atas = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 9. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?
σ = 9E = 2.595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 76.4 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 76.4s = 10n = 25
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 121. Sisihan piawai populasi ialah 5. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 121σ = 5n = 3690%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 159Σx² = 364Σy² = 5083Σxy = 1358
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 16) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(4.5, 16)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 11.61
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 234/6 = 39
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 8² + (−4)² + (−10)² + 17² + 3² + (−14)² = 674
Sisihan piawai
s = √(674/5) = 11.61
Jawapan
s = 11.61
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.2119
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
Jawapan
P = 0.2119
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 11.95
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 10·0.25 + 20·0.2 + 30·0.2 + 40·0.35 = 26.5
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 100·0.25 + 400·0.2 + 900·0.2 + 1600·0.35 = 845
Varians
Var(X) = 845 − 26.5² = 142.8
σ = √142.8 = 11.95
Jawapan
σ = 11.95
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 2.4 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 9 (p = 0.2), 57 (p = 0.05), −3 (p = 0.75)
Nilai jangkaan
E(G) = 9·0.2 + 57·0.05 − 3·0.75 = 2.4 €
Jawapan
E(G) = 2.4 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.02275
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg
Piawaikan
z = (388 − 340)/24 = 2
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(2) = 0.02275
Jawapan
P = 0.02275
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8413
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Piawaikan
z = (0 − 10)/10 = −1
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 10.92 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 14, t = 2.977
Margin ralat
E = 2.977·5.1/√15 = 3.92
Selang
7 ± 3.92 → [3.08, 10.92]
Jawapan
had atas = 10.92 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 50
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·9/2.5)² = 49.79
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 50
Jawapan
n = 50
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 0.7
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
Statistik ujian
t = (76.4 − 75)/2 = 0.7
Jawapan
t = 0.7
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 119.6
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·5/√36 = 1.371
Had selang
L = 121 − 1.371 = 119.6
Jawapan
L = 119.6
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9931
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 1358 − 42·159/6 = 245
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5083 − 159²/6 = 869.5
Pekali korelasi
r = 245/√(70·869.5) = 0.9931
Jawapan
r = 0.9931
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −3.481
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 127/6 = 21.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29.5
Garis regresi
b = −29.5/17.5 = −1.686
a = 21.17 − (−1.686)·3.5 = 27.07
ŷ = 27.07 − 1.686·x
Nilai ramalan
ŷ = 27.07 + (−1.686)·4.5 = 19.48
Reja
e = 16 − 19.48 = −3.481
Jawapan
e = −3.481
Titik itu terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1