Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 22, 44, 59, 53, 26, 42.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 158?

μ = 170σ = 8x = 158

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.2, 0.05, 0.35, 0.2

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 5p = 0.7k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 117.8 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117.8 s

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 20% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah20%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 100 telefon, min 88.5 j, sisihan piawai diketahui 8 j. Model 2: 60 telefon, min 85.5 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 88.5 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 85.5 hσ₂ = 16 h95%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 14 petak, min hasil 100 kg, sisihan piawai 1 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 94.5 kg, sisihan piawai 7 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 100s₁ = 1n₂ = 8x̄₂ = 94.5s₂ = 795%t(20) = 2.086

had atas = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 73.96 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73.96s = 4n = 100

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 5 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 14. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 95%δ = 5σ = 14z_α = 1.645z_β = 1.645

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 1.5.

n = 5x = 1.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.51

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 293/7 = 41.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 5.143² + (−19.86)² + 2.143² + 17.14² + 11.14² + (−15.86)² + 0.1429² = 1095

Sisihan piawai

s = √(1095/6) = 13.51

Jawapan

s = 13.51

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9332

Piawaikan

z = −1.5

Jadual normal piawai

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.459

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 1·0.2 + 2·0.05 + 3·0.35 + 4·0.2 = 2.15

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.2 + 4·0.05 + 9·0.35 + 16·0.2 = 6.75

Varians

Var(X) = 6.75 − 2.15² = 2.128

σ = √2.128 = 1.459

Jawapan

σ = 1.459

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1323

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 2) = 10·0.7²·0.3³ = 10·0.49·0.027 = 0.1323

Jawapan

P = 0.1323

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.02275

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (117.8 − 105)/6.403 = 2

Ekor atas

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

6.Taburan normal

Jawapan: x = 87.4 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.2

z daripada jadual

z ≈ −0.84

Kembali kepada unit asal

x = 100 − 0.84·15 = 87.4 markah

Jawapan

x = 87.4 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 4.342 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 88.5 − 85.5 = 3

Ralat piawai

SE = √(8²/100 + 16²/60) = 2.215

Margin ralat

E = 1.96·2.215 = 4.342

Jawapan

E = 4.342 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 9.401 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (13·1² + 7·7²)/20 = 17.8

s_p = 4.219

Margin ralat

E = 2.086·4.219·√(1/14 + 1/8) = 3.901

Selang

5.5 ± 3.901 → [1.599, 9.401]

Jawapan

had atas = 9.401 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.6

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

Statistik ujian

t = (73.96 − 75)/0.4 = −2.6

Jawapan

t = −2.6

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 85

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 1.645)·14/5)² = 84.86

Bundarkan ke atas

n = 85

Jawapan

n = 85

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9806

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 71/5 = 14.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 174.8

Pekali korelasi

r = 82/√(40·174.8) = 0.9806

Jawapan

r = 0.9806

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 24.5

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

Garis regresi

b = −14/10 = −1.4

a = 22.4 − (−1.4)·3 = 26.6

ŷ = 26.6 − 1.4·x

Ramalan

ŷ = 26.6 + (−1.4)·1.5 = 24.5

Jawapan

ŷ = 24.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1