Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
1520253035

Cari sisihan piawai sampel s data: 12, 18, 16, 38, 33, 18.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 95.

μ = 100σ = 5x = 95
z =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.1510.320.3530.2μ = 1.6

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.3, 0.35, 0.2
σ =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−10.6910.390.01

Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €2 dengan kebarangkalian 0.3 dan €10 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €1€2: p = 0.3€10: p = 0.01
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
172.4188.85P = ?

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 172.4 dan 188.85 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x1 = 172.4x2 = 188.85
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 65x = ?10%

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 65σ = 10P = 10%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 13, s = 1L = ?Ux̄ = 36E99%

Satu sampel 13 item mempunyai min 36 dan sisihan piawai s = 1. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 13x̄ = 36s = 199%t(12) = 3.055
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0595%

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.05?

p = 0.5E = 0.0595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.01102.011

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 503.3 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 503.3s = 8n = 49
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −2.57602.576

Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 45. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 45σ = 20n = 6499%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy274186258311040xy5102040

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 121Σx² = 220Σy² = 3559Σxy = 884
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy264126198211028xy510102030x = 3

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3, 13) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(3, 13)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.43

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 135/6 = 22.5

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−10.5)² + (−4.5)² + (−6.5)² + 15.5² + 10.5² + (−4.5)² = 543.5

Sisihan piawai

s = √(543.5/5) = 10.43

Jawapan

s = 10.43
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (95 − 100)/5 = −1

Jawapan

z = −1
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.9695

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.2 = 1.6

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.2 = 3.5

Varians

Var(X) = 3.5 − 1.6² = 0.94
σ = √0.94 = 0.9695

Jawapan

σ = 0.9695
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.3 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 1 (p = 0.3), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.69)

Nilai jangkaan

E(G) = 1·0.3 + 9·0.01 − 1·0.69 = −0.3 €

Jawapan

E(G) = −0.3 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7276

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (172.4 − 178)/7 = −0.8
z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55

Luas antara

P = Φ(1.55) − Φ(−0.8) = 0.9394 − 0.2119 = 0.7276

Jawapan

P = 0.7276
6.Taburan normal

Jawapan: x = 52.18 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 markah

Jawapan

x = 52.18 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 35.15

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 3.055

Margin ralat

E = 3.055·1/√13 = 0.8473

Selang

36 ± 0.8473 → [35.15, 36.85]

Jawapan

had bawah = 35.15
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.96²·0.5·0.5/0.05² = 384.2

Bundarkan ke atas

n = 385

Jawapan

n = 385
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.888

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

Statistik ujian

t = (503.3 − 500)/1.143 = 2.888

Jawapan

t = 2.888
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 38.56

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·20/√64 = 6.44

Had selang

L = 45 − 6.44 = 38.56

Jawapan

L = 38.56
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9947

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 884 − 30·121/5 = 158
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 3559 − 121²/5 = 630.8

Pekali korelasi

r = 158/√(40·630.8) = 0.9947

Jawapan

r = 0.9947
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 3.75

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 86/5 = 17.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Garis regresi

b = 106/40 = 2.65
a = 17.2 − 2.65·6 = 1.3
ŷ = 1.3 + 2.65·x

Nilai ramalan

ŷ = 1.3 + 2.65·3 = 9.25

Reja

e = 13 − 9.25 = 3.75

Jawapan

e = 3.75

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1