Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 35, 52, 22, 40, 27, 10.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 43.6?

μ = 50σ = 8x = 43.6

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.25, 0.2, 0.25, 0.2

σ =

4.KebarangkalianSukar

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.3

P =

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 164.35 dan 181.5 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 164.35x₂ = 181.5

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 20 item mempunyai min 87 dan sisihan piawai s = 13. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 20x̄ = 87s = 1399%t(19) = 2.861

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 22. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 5?

σ = 22E = 599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 80 bahagian mempunyai min panjang 132 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 9 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 129.7 mm, sisihan piawai diketahui 15 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 80x̄₁ = 132 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 40x̄₂ = 129.7 mmσ₂ = 15 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 1 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 95%δ = 1σ = 5z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (1.5, 21) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(1.5, 21)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.67

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 186/6 = 31

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 4² + 21² + (−9)² + 9² + (−4)² + (−21)² = 1076

Sisihan piawai

s = √(1076/5) = 14.67

Jawapan

s = 14.67

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2119

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.288

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.1 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.25 + 5·0.2 = 3.2

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.1 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.25 + 25·0.2 = 11.9

Varians

Var(X) = 11.9 − 3.2² = 1.66

σ = √1.66 = 1.288

Jawapan

σ = 1.288

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3294

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.7⁷ = 0.08235

P(X = 1) = 7·0.3·0.7⁶ = 0.2471

Tambahkannya

P = 0.08235 + 0.2471 = 0.3294

Jawapan

P = 0.3294

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6659

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (164.35 − 178)/7 = −1.95

z₂ = (181.5 − 178)/7 = 0.5

Luas antara

P = Φ(0.5) − Φ(−1.95) = 0.6915 − 0.02559 = 0.6659

Jawapan

P = 0.6659

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 95.32

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 19, t = 2.861

Margin ralat

E = 2.861·13/√20 = 8.317

Selang

87 ± 8.317 → [78.68, 95.32]

Jawapan

had atas = 95.32

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 129

Selesaikan untuk n

n = (2.576·22/5)² = 128.5

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 129

Jawapan

n = 129

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 0.8927

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(9²/80 + 15²/40) = √6.638 = 2.576

Statistik ujian

z = (132 − 129.7)/2.576 = 0.8927

Jawapan

z = 0.8927

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 395

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 1.645)·5/1)² = 394.2

Bundarkan ke atas

n = 395

Jawapan

n = 395

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.994

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 477/6 = 79.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2166

Pekali korelasi

r = 387/√(70·2166) = 0.994

Jawapan

r = 0.994

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −4.948

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 119/6 = 19.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53.5

Garis regresi

b = −53.5/17.5 = −3.057

a = 19.83 − (−3.057)·3.5 = 30.53

ŷ = 30.53 − 3.057·x

Nilai ramalan

ŷ = 30.53 + (−3.057)·1.5 = 25.95

Reja

e = 21 − 25.95 = −4.948

Jawapan

e = −4.948

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1