Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
202530354045505560

Cari sisihan piawai sampel s data: 35, 17, 51, 32, 57, 60, 51.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 95.

μ = 100σ = 10x = 95
z =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.2510.120.3530.2540.05μ = 1.75

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.35, 0.25, 0.05
σ =
4.KebarangkalianSukar
n = 9, p = 0.1: P(X = 1) = ?k0123456789

Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 1 jawapan betul?

n = 9p = 0.1k = 1
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek antara −z dan z = 0.3108

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.3108. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.3108
z =
6.Taburan normalSukar
μ = 32x = ?75%

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).

μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 100 telefon, min 121 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Model 2: 100 telefon, min 108.5 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 121 hσ₁ = 20 hn₂ = 100x̄₂ = 108.5 hσ₂ = 20 h90%
E = h
8.Selang keyakinanSukar
σ = 18, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.599%

Sisihan piawai populasi ialah 18. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 18E = 2.599%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.01102.011

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 97.79 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97.79s = 5n = 49
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 121.8. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 121.8σ = 15n = 10095%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy2941662383010391250xy5102040

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 167Σx² = 364Σy² = 5787Σxy = 1450
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy2541161782110261229xy510102030ŷ = 23

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23
x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.67

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 303/7 = 43.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−8.286)² + (−26.29)² + 7.714² + (−11.29)² + 13.71² + 16.71² + 7.714² = 1473

Sisihan piawai

s = √(1473/6) = 15.67

Jawapan

s = 15.67
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (95 − 100)/10 = −0.5

Jawapan

z = −0.5
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.22

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.25 + 1·0.1 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.05 = 1.75

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.1 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.05 = 4.55

Varians

Var(X) = 4.55 − 1.75² = 1.488
σ = √1.488 = 1.22

Jawapan

σ = 1.22
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3874

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 1) = 9·0.11·0.98 = 9·0.1·0.4305 = 0.3874

Jawapan

P = 0.3874
5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.4

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.3108)/2 = 0.6554

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.6554 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.40

Jawapan

z = 0.40
6.Taburan normal

Jawapan: x = 36.05 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

Kembali kepada x

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

Jawapan

x = 36.05 min
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 4.653 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 121 − 108.5 = 12.5

Ralat piawai

SE = √(20²/100 + 20²/100) = 2.828

Margin ralat

E = 1.645·2.828 = 4.653

Jawapan

E = 4.653 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 344

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·18/2.5)² = 344

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 344

Jawapan

n = 344
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −3.094

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

Statistik ujian

t = (97.79 − 100)/0.7143 = −3.094

Jawapan

t = −3.094
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 118.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·15/√100 = 2.94

Had selang

L = 121.8 − 2.94 = 118.9

Jawapan

L = 118.9
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9952

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 1450 − 42·167/6 = 281
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5787 − 167²/6 = 1139

Pekali korelasi

r = 281/√(70·1139) = 0.9952

Jawapan

r = 0.9952
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 9.002

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 169

Garis regresi

b = 169/70 = 2.414
a = 18.17 − 2.414·7 = 1.267
ŷ = 1.267 + 2.414·x

Selesaikan untuk x

x = (23 − 1.267)/2.414 = 9.002

Jawapan

x = 9.002

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1