Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 46, 46, 10, 18, 56, 23.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 164.

μ = 170σ = 5x = 164

z =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 3 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 3

P =

4.KebarangkalianSukar

10 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 10p = 0.25

P =

5.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 23.3 dan 44.3 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 23.3x₂ = 44.3

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 60% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 60 telefon, min 115.5 j, sisihan piawai diketahui 6 j. Model 2: 100 telefon, min 120.5 j, sisihan piawai diketahui 18 j. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 115.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 100x̄₂ = 120.5 hσ₂ = 18 h90%

had atas = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 26. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 26E = 1.595%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 100.6 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 100.6s = 8n = 81

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 40 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 140 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 40n₁ = 80x₂ = 140n₂ = 250

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.5.

n = 5x = 3.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.55

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 199/6 = 33.17

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 12.83² + 12.83² + (−23.17)² + (−15.17)² + 22.83² + (−10.17)² = 1721

Sisihan piawai

s = √(1721/5) = 18.55

Jawapan

s = 18.55

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Piawaikan

z = (164 − 170)/5 = −1.2

Jawapan

z = −1.2

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.4213

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

Jawapan

P = 0.4213

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.244

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.75¹⁰ = 0.05631

P(X = 1) = 10·0.25·0.75⁹ = 0.1877

Tambahkannya

P = 0.05631 + 0.1877 = 0.244

Jawapan

P = 0.244

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9063

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (23.3 − 32)/6 = −1.45

z₂ = (44.3 − 32)/6 = 2.05

Luas antara

P = Φ(2.05) − Φ(−1.45) = 0.9798 − 0.07353 = 0.9063

Jawapan

P = 0.9063

6.Taburan normal

Jawapan: x = 248.8 g

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.4

z daripada jadual

z ≈ −0.25

Kembali kepada unit asal

x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g

Jawapan

x = 248.8 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = −1.776 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 115.5 − 120.5 = −5

Ralat piawai

SE = √(6²/60 + 18²/100) = 1.96

Margin ralat

E = 1.645·1.96 = 3.224

Selang

−5 ± 3.224 → [−8.224, −1.776]

Jawapan

had atas = −1.776 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1155

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·26/1.5)² = 1154

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 1155

Jawapan

n = 1155

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 0.675

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

Statistik ujian

t = (100.6 − 100)/0.8889 = 0.675

Jawapan

t = 0.675

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −0.9381

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 40/80 = 0.5

p̂₂ = 140/250 = 0.56

p̂ = 180/330 = 0.5455

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.5455·0.4545·(1/80 + 1/250)) = 0.06396

Statistik ujian

z = (0.5 − 0.56)/0.06396 = −0.9381

Jawapan

z = −0.9381

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9669

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 61/5 = 12.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 102.8

Pekali korelasi

r = 62/√(40·102.8) = 0.9669

Jawapan

r = 0.9669

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 25.05

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 127/5 = 25.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −7

Garis regresi

b = −7/10 = −0.7

a = 25.4 − (−0.7)·3 = 27.5

ŷ = 27.5 − 0.7·x

Ramalan

ŷ = 27.5 + (−0.7)·3.5 = 25.05

Jawapan

ŷ = 25.05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1