Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 10, 39, 45, 38, 45.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 47.5.

μ = 50σ = 5x = 47.5

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 8? Susunan tidak penting.

n = 8k = 4

N =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 5. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.35, 0.2Y = 0.5X + 5

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 460 dan 534 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 460x₂ = 534

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 7 item mempunyai min 19.5 dan sisihan piawai s = 3.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.

n = 7x̄ = 19.5s = 3.595%t(6) = 2.447

E =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 34. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?

σ = 34E = 490%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 76.6 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76.6s = 12n = 81

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2.5 unit dengan kuasa 90%. Sisihan piawai ialah 22. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 90%δ = 2.5σ = 22z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (10, 45) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(10, 45)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.57

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 177/5 = 35.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−25.4)² + 3.6² + 9.6² + 2.6² + 9.6² = 849.2

Sisihan piawai

s = √(849.2/4) = 14.57

Jawapan

s = 14.57

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (47.5 − 50)/5 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 70

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Jawapan

N = 70

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 0.4848

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.6, Var(X) = 0.94, σ_X = 0.9695

Perubahan linear

σ_Y = |0.5|·0.9695 = 0.4848

Jawapan

σ_Y = 0.4848

Min memang berubah: E(Y) = 0.5·2.6 + 5 = 6.3.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6437

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (460 − 500)/40 = −1

z₂ = (534 − 500)/40 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(−1) = 0.8023 − 0.1587 = 0.6437

Jawapan

P = 0.6437

6.Taburan normal

Jawapan: x = 245.8 g

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

Jawapan

x = 245.79 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 3.237

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 6, t = 2.447

Margin ralat

E = 2.447·3.5/√7 = 3.237

Jawapan

E = 3.237

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 196

Selesaikan untuk n

n = (1.645·34/4)² = 195.5

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 196

Jawapan

n = 196

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

Statistik ujian

t = (76.6 − 75)/1.333 = 1.2

Jawapan

t = 1.2

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 664

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 1.282)·22/2.5)² = 663.5

Bundarkan ke atas

n = 664

Jawapan

n = 664

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9687

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 600/6 = 100

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1228

Pekali korelasi

r = 284/√(70·1228) = 0.9687

Jawapan

r = 0.9687

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −2.767

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 259/6 = 43.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 161

Garis regresi

b = 161/70 = 2.3

a = 43.17 − 2.3·8 = 24.77

ŷ = 24.77 + 2.3·x

Nilai ramalan

ŷ = 24.77 + 2.3·10 = 47.77

Reja

e = 45 − 47.77 = −2.767

Jawapan

e = −2.767

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1