Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 58, 17, 25, 30, 40.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 185?
μ = 170σ = 10x = 185
P =
3.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 5 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 5
P =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 5. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.3, 0.2Y = 2X + 5
σY =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.2434. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.2434
z =
6.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 75 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Model 2: 40 telefon, min 69.5 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 75 hσ₁ = 16 hn₂ = 40x̄₂ = 69.5 hσ₂ = 3 h90%
had bawah = h
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 26 petak, min hasil 64 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Kumpulan petak 2: 5 petak, min 56 kg, sisihan piawai 4 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 26x̄₁ = 64s₁ = 9.5n₂ = 5x̄₂ = 56s₂ = 490%t(29) = 1.699
had atas = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 43.36 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 43.36s = 15n = 49
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5? Sisihan piawai ialah 20. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 20E = 1.595%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 59?
n = 6ŷ = 59
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 15.8
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 170/5 = 34
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 24² + (−17)² + (−9)² + (−4)² + 6² = 998
Sisihan piawai
s = √(998/4) = 15.8
Jawapan
s = 15.8
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.06681
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.5
Jadual normal piawai
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.5981
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)5 = 0.4019
P = 1 − 0.4019 = 0.5981
Jawapan
P = 0.5981
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 19.47
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 25.5, Var(X) = 94.75, σX = 9.734
Perubahan linear
σY = |2|·9.734 = 19.47
Jawapan
σY = 19.47
Min memang berubah: E(Y) = 2·25.5 + 5 = 56.
5.Taburan normal
Jawapan: z = 0.31
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.2434)/2 = 0.6217
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.6217 di dalam jadual dan baca z.
z = 0.31
Jawapan
z = 0.31
6.Taburan normal
Jawapan: x = 241.8 g
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
Kembali kepada x
x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g
Jawapan
x = 241.78 g
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 2.456 h
Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 75 − 69.5 = 5.5
Ralat piawai
SE = √(16²/80 + 3²/40) = 1.851
Margin ralat
E = 1.645·1.851 = 3.044
Selang
5.5 ± 3.044 → [2.456, 8.544]
Jawapan
had bawah = 2.456 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 15.42 kg
Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (25·9.5² + 4·4²)/29 = 80.01
sp = 8.945
Margin ralat
E = 1.699·8.945·√(1/26 + 1/5) = 7.421
Selang
8 ± 7.421 → [0.5789, 15.42]
Jawapan
had atas = 15.42 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −3.099
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143
Statistik ujian
t = (43.36 − 50)/2.143 = −3.099
Jawapan
t = −3.099
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 683
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.96·20/1.5)² = 683
Bundarkan ke atas
n = 683
Jawapan
n = 683
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9874
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 131/6 = 21.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 189
Syy = Σ(y − ȳ)² = 516.8
Pekali penentuan
r² = 189²/(70·516.8) = 0.9874
Jawapan
r² = 0.9874
Kira-kira 98.74% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 24.8
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 348/6 = 58
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 519
Garis regresi
b = 519/157.5 = 3.295
a = 58 − 3.295·24.5 = −22.73
ŷ = −22.73 + 3.295·x
Selesaikan untuk x
x = (59 − (−22.73))/3.295 = 24.8
Jawapan
x = 24.8
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1