Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 59, 32, 52, 52, 49, 56, 36.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 190?
μ = 170σ = 10x = 190
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.3, 0.15, 0.25
σ =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.15, 0.3, 0.3Y = 3X + 20
σY =
5.Taburan normalSederhana
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 171 dan 183.6 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 183.6
P =
6.Taburan normalSukar
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 85% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 16 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −3 dan sisihan piawai 0.6. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min beza.
n = 16d̄ = −3sd = 0.699%t(15) = 2.947
had bawah = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 34. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?
σ = 34E = 1.590%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 501.4 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501.4s = 4n = 25
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 90 daripada 200 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 117 daripada 300 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 117n₂ = 300
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 18?
n = 5ŷ = 18
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 10.15
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 336/7 = 48
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 11² + (−16)² + 4² + 4² + 1² + 8² + (−12)² = 618
Sisihan piawai
s = √(618/6) = 10.15
Jawapan
s = 10.15
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.9772
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 2
Jadual normal piawai
Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772
Jawapan
P = 0.9772
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.152
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.25 = 2.35
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.25 = 6.85
Varians
Var(X) = 6.85 − 2.35² = 1.328
σ = √1.328 = 1.152
Jawapan
σ = 1.152
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 3.457
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.65, Var(X) = 1.328, σX = 1.152
Perubahan linear
σY = |3|·1.152 = 3.457
Jawapan
σY = 3.457
Min memang berubah: E(Y) = 3·1.65 + 20 = 24.95.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6295
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (183.6 − 178)/7 = 0.8
Luas antara
P = Φ(0.8) − Φ(−1) = 0.7881 − 0.1587 = 0.6295
Jawapan
P = 0.6295
6.Taburan normal
Jawapan: x = 458 h
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.15
z daripada jadual
z ≈ −1.04
Kembali kepada unit asal
x = 500 − 1.04·40 = 458 h
Jawapan
x = 458 h
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −3.442 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 15, t = 2.947
Margin ralat
E = 2.947·0.6/√16 = 0.442
Selang
−3 ± 0.442 → [−3.442, −2.558]
Jawapan
had bawah = −3.442 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 1391
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·34/1.5)² = 1390
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 1391
Jawapan
n = 1391
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 1.75
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
Statistik ujian
t = (501.4 − 500)/0.8 = 1.75
Jawapan
t = 1.75
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 1.334
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 90/200 = 0.45
p̂₂ = 117/300 = 0.39
p̂ = 207/500 = 0.414
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.414·0.586·(1/200 + 1/300)) = 0.04496
Statistik ujian
z = (0.45 − 0.39)/0.04496 = 1.334
Jawapan
z = 1.334
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9131
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 139/6 = 23.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 50.83
Pekali penentuan
r² = −28.5²/(17.5·50.83) = 0.9131
Jawapan
r² = 0.9131
Kira-kira 91.31% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 7.132
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 75/5 = 15
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Garis regresi
b = 106/40 = 2.65
a = 15 − 2.65·6 = −0.9
ŷ = −0.9 + 2.65·x
Selesaikan untuk x
x = (18 − (−0.9))/2.65 = 7.132
Jawapan
x = 7.132
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1