Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 57, 49, 56, 58, 34, 19, 24.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 25. Cari skor-z z bagi skor 450.

μ = 500σ = 25x = 450

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.2, 0.3, 0.25

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 7 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 7p = 0.1k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 240.25 dan 254.25 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 240.25x₂ = 254.25

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 25% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 62.5 dan sisihan piawai s = 6.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 16x̄ = 62.5s = 6.595%t(15) = 2.131

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 11 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 4.5 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 10, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 3.247 dan 2.5% terletak di atas 20.483.

n = 11s = 4.5 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 73.43 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73.43s = 5n = 49

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 49 ukuran mempunyai min 97.3. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 97.3σ = 10n = 4995%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 25.5.

n = 6x = 25.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.54

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 297/7 = 42.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 14.57² + 6.571² + 13.57² + 15.57² + (−8.429)² + (−23.43)² + (−18.43)² = 1642

Sisihan piawai

s = √(1642/6) = 16.54

Jawapan

s = 16.54

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (450 − 500)/25 = −2

Jawapan

z = −2

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.117

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.25 = 2.55

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.25 = 7.75

Varians

Var(X) = 7.75 − 2.55² = 1.248

σ = √1.248 = 1.117

Jawapan

σ = 1.117

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.124

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 2) = 21·0.1²·0.9⁵ = 21·0.01·0.5905 = 0.124

Jawapan

P = 0.124

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7767

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (240.25 − 250)/5 = −1.95

z₂ = (254.25 − 250)/5 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(−1.95) = 0.8023 − 0.02559 = 0.7767

Jawapan

P = 0.7767

6.Taburan normal

Jawapan: x = 173.3 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.25

z daripada jadual

z ≈ −0.67

Kembali kepada unit asal

x = 178 − 0.67·7 = 173.3 cm

Jawapan

x = 173.3 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 65.96

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.131

Margin ralat

E = 2.131·6.5/√16 = 3.463

Selang

62.5 ± 3.463 → [59.04, 65.96]

Jawapan

had atas = 65.96

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 3.144 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 10·4.5² = 202.5

Had bagi σ²

202.5/20.483 = 9.886

202.5/3.247 = 62.37

Had bagi σ

σ = √9.886 = 3.144 µm

Jawapan

σ = 3.144 µm

Selang 95% bagi σ: [3.144, 7.897] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.198

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

Statistik ujian

t = (73.43 − 75)/0.7143 = −2.198

Jawapan

t = −2.198

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 100.1

Margin ralat

E = 1.96·10/√49 = 2.8

Had selang

U = 97.3 + 2.8 = 100.1

Jawapan

U = 100.1

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9489

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 319/5 = 63.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 242.8

Pekali penentuan

r² = 48²/(10·242.8) = 0.9489

Jawapan

r² = 0.9489

Kira-kira 94.89% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 118.7

Min

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 712/6 = 118.7

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 672

Garis regresi

b = 672/157.5 = 4.267

a = 118.7 − 4.267·25.5 = 9.867

ŷ = 9.867 + 4.267·x

Ramalan

ŷ = 9.867 + 4.267·25.5 = 118.7

Jawapan

ŷ = 118.7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1