Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
202530354045

Cari sisihan piawai sampel s data: 22, 41, 22, 20, 18, 45.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 40?

μ = 70σ = 20x = 40
P =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 5biru: 8

Sebuah beg mengandungi 5 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

5 / 8
P =
4.KebarangkalianSukar
n = 9, p = 0.3: P(X = 5) = ?k0123456789

Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?

n = 9p = 0.3k = 5
P =
5.Taburan normalSederhana
171186.75P = ?

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 171 dan 186.75 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 186.75
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 500x = ?99%

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 99% daripadanya (persentil ke-99).

μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
n = 9, s = 12L = ?Ux̄ = 55E99%

Satu sampel 9 item mempunyai min 55 dan sisihan piawai s = 12. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 9x̄ = 55s = 1299%t(8) = 3.355
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

Sisihan piawai populasi ialah 37. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 37E = 295%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.98401.984

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 75.84 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75.84s = 12n = 100
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1? Sisihan piawai ialah 20. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 20E = 190%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy294146178271030xy510102030

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy132230341437546649xy246304050x = 2.5

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.5.

n = 6x = 2.5
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.78

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 168/6 = 28

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−6)² + 13² + (−6)² + (−8)² + (−10)² + 17² = 694

Sisihan piawai

s = √(694/5) = 11.78

Jawapan

s = 11.78
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9332

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −1.5

Jadual normal piawai

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1282

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0.1282

Jawapan

P = 0.1282
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.07351

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 5) = 126·0.35·0.74 = 126·0.00243·0.2401 = 0.07351

Jawapan

P = 0.07351
5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7357

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (186.75 − 178)/7 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−1) = 0.8944 − 0.1587 = 0.7357

Jawapan

P = 0.7357
6.Taburan normal

Jawapan: x = 593.1 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

Kembali kepada x

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

Jawapan

x = 593.05 h
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 41.58

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 8, t = 3.355

Margin ralat

E = 3.355·12/√9 = 13.42

Selang

55 ± 13.42 → [41.58, 68.42]

Jawapan

had bawah = 41.58
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1315

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·37/2)² = 1315

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 1315

Jawapan

n = 1315
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 0.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

Statistik ujian

t = (75.84 − 75)/1.2 = 0.7

Jawapan

t = 0.7
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 1083

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.645·20/1)² = 1082

Bundarkan ke atas

n = 1083

Jawapan

n = 1083
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9828

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 97/5 = 19.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Syy = Σ(y − ȳ)² = 313.2

Pekali korelasi

r = 110/√(40·313.2) = 0.9828

Jawapan

r = 0.9828
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 35.48

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 235/6 = 39.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64.5

Garis regresi

b = 64.5/17.5 = 3.686
a = 39.17 − 3.686·3.5 = 26.27
ŷ = 26.27 + 3.686·x

Ramalan

ŷ = 26.27 + 3.686·2.5 = 35.48

Jawapan

ŷ = 35.48

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1