Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
25303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 29, 57, 25, 52, 36.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 158?

μ = 170σ = 15x = 158
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.2520.1540.3560.25μ = 3.2

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.15, 0.35, 0.25
σ =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)100.3200.2300.35400.15μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 1. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.2, 0.35, 0.15Y = 10X + 1
σY =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek di sebelah kanan z = 0.0294

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0294. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.0294
z =
6.Taburan normalSukar
157164171178185192199cmbawah 90%

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 90% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
n = 8, s = 9.5LUx̄ = 24.5E = ?99%

Satu sampel 8 item mempunyai min 24.5 dan sisihan piawai s = 9.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 8x̄ = 24.5s = 9.599%t(7) = 3.499
E =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

Sisihan piawai populasi ialah 20. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 20E = 295%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.01102.011

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 117.6 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117.6s = 12n = 49
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 4. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 4E = 2.590%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy1543565617699741187xy5106080

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 36Σy = 401Σx² = 286Σy² = 27579Σxy = 2633
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy123222321418515612xy2461520ŷ = 14

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 14?

n = 6ŷ = 14
x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.1

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 199/5 = 39.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−10.8)² + 17.2² + (−14.8)² + 12.2² + (−3.8)² = 794.8

Sisihan piawai

s = √(794.8/4) = 14.1

Jawapan

s = 14.1
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2119

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 2.227

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.25 + 2·0.15 + 4·0.35 + 6·0.25 = 3.2

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.15 + 16·0.35 + 36·0.25 = 15.2

Varians

Var(X) = 15.2 − 3.2² = 4.96
σ = √4.96 = 2.227

Jawapan

σ = 2.227
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 106.2

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 23.5, Var(X) = 112.8, σX = 10.62

Perubahan linear

σY = |10|·10.62 = 106.2

Jawapan

σY = 106.2

Min memang berubah: E(Y) = 10·23.5 + 1 = 236.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.89

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.0294 = 0.9706

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9706 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.89

Jawapan

z = 1.89
6.Taburan normal

Jawapan: x = 187 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.9

z daripada jadual

z ≈ 1.28

Kembali kepada unit asal

x = 178 + 1.28·7 = 187 cm

Jawapan

x = 187 cm
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 11.75

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 7, t = 3.499

Margin ralat

E = 3.499·9.5/√8 = 11.75

Jawapan

E = 11.75
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 385

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·20/2)² = 384.2

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 385

Jawapan

n = 385
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

Statistik ujian

t = (117.6 − 120)/1.714 = −1.4

Jawapan

t = −1.4
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| < 2.011, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.645·4/2.5)² = 6.927

Bundarkan ke atas

n = 7

Jawapan

n = 7
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9722

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 2633 − 36·401/6 = 227
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 27579 − 401²/6 = 778.8

Pekali korelasi

r = 227/√(70·778.8) = 0.9722

Jawapan

r = 0.9722
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 5.494

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 111/6 = 18.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39.5

Garis regresi

b = −39.5/17.5 = −2.257
a = 18.5 − (−2.257)·3.5 = 26.4
ŷ = 26.4 − 2.257·x

Selesaikan untuk x

x = (14 − 26.4)/(−2.257) = 5.494

Jawapan

x = 5.494

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1