Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 29, 15, 25, 41, 38, 13, 16.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 164.

μ = 170σ = 12x = 164

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 8

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 11p = 0.6k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 29.5 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29.5 min

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 9 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 7.8 dan sisihan piawai 7. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min beza.

n = 9d̄ = 7.8s_d = 799%t(8) = 3.355

had atas = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 31. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 31E = 1.595%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 493.8 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 493.8s = 20n = 100

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 1 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 6. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 80%δ = 1σ = 6z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 64?

n = 6ŷ = 64

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.29

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 177/7 = 25.29

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 3.714² + (−10.29)² + (−0.2857)² + 15.71² + 12.71² + (−12.29)² + (−9.286)² = 765.4

Sisihan piawai

s = √(765.4/6) = 11.29

Jawapan

s = 11.29

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (164 − 170)/12 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1648

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0.1648

Jawapan

P = 0.1648

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.00519

Formula binomial

P(X = 2) = 55·0.6²·0.4⁹ = 55·0.36·0.0002621 = 0.00519

Jawapan

P = 0.00519

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (29.5 − 32)/2.5 = −1

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413

6.Taburan normal

Jawapan: x = 243.6 g

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 250 + −1.282·5 = 243.59 g

Jawapan

x = 243.59 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 15.63 mmHg

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 8, t = 3.355

Margin ralat

E = 3.355·7/√9 = 7.828

Selang

7.8 ± 7.828 → [−0.02833, 15.63]

Jawapan

had atas = 15.63 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1641

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·31/1.5)² = 1641

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 1641

Jawapan

n = 1641

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −3.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Statistik ujian

t = (493.8 − 500)/2 = −3.1

Jawapan

t = −3.1

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 362

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 0.842)·6/1)² = 361.3

Bundarkan ke atas

n = 362

Jawapan

n = 362

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9947

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 109/5 = 21.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 506.8

Pekali penentuan

r² = 142²/(40·506.8) = 0.9947

Jawapan

r² = 0.9947

Kira-kira 99.47% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 9.889

Min

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 331/6 = 55.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 159

Garis regresi

b = 159/70 = 2.271

a = 55.17 − 2.271·6 = 41.54

ŷ = 41.54 + 2.271·x

Selesaikan untuk x

x = (64 − 41.54)/2.271 = 9.889

Jawapan

x = 9.889

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1