Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 44, 11, 41, 12, 56.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 180?
μ = 170σ = 10x = 180
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.25, 0.1
σ =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 10. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.3, 0.35, 0.05Y = 5X + 10
σY =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.8340. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.8340
z =
6.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).
μ = 65σ = 10P = 75%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 100 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Model 2: 100 telefon, min 94 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 100 hσ₁ = 20 hn₂ = 100x̄₂ = 94 hσ₂ = 13 h90%
E = h
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 29. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?
σ = 29E = 2.599%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 250; sisihan piawai populasi diketahui ialah 30. Satu sampel rawak 144 cerapan mempunyai min 245.9. Uji H₀: μ = 250 terhadap H₁: μ < 250. Cari nilai-p p.
μ₀ = 250σ = 30n = 144x̄ = 245.9H₁: μ < μ₀
p =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 30 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 85 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 150x₂ = 85n₂ = 250
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 15Σy = 99Σx² = 55Σy² = 2021Σxy = 274
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 62?
n = 5ŷ = 62
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 20.24
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 164/5 = 32.8
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 11.2² + (−21.8)² + 8.2² + (−20.8)² + 23.2² = 1639
Sisihan piawai
s = √(1639/4) = 20.24
Jawapan
s = 20.24
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.1587
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1
Jadual normal piawai
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
Jawapan
P = 0.1587
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.236
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.1 = 1.85
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.1 = 4.95
Varians
Var(X) = 4.95 − 1.85² = 1.527
σ = √1.527 = 1.236
Jawapan
σ = 1.236
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 4.548
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.15, Var(X) = 0.8275, σX = 0.9097
Perubahan linear
σY = |5|·0.9097 = 4.548
Jawapan
σY = 4.548
Min memang berubah: E(Y) = 5·1.15 + 10 = 15.75.
5.Taburan normal
Jawapan: z = −0.97
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.8340 = 0.1660
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.1660 di dalam jadual dan baca z.
z = −0.97
Jawapan
z = −0.97
6.Taburan normal
Jawapan: x = 71.75 markah
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
Kembali kepada x
x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 markah
Jawapan
x = 71.75 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 4.255 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 100 − 94 = 6
Ralat piawai
SE = √(20²/80 + 13²/100) = 2.587
Margin ralat
E = 1.645·2.587 = 4.255
Jawapan
E = 4.255 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 893
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·29/2.5)² = 892.9
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 893
Jawapan
n = 893
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.0505
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 30/√144 = 2.5
z = (245.9 − 250)/2.5 = −1.64
Luas ekor
Φ(1.64) = 0.9495
1 − Φ(1.64) = 0.0505
Nilai-p
p = 0.0505
Jawapan
p = 0.0505
p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −2.995
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 30/150 = 0.2
p̂₂ = 85/250 = 0.34
p̂ = 115/400 = 0.2875
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.2875·0.7125·(1/150 + 1/250)) = 0.04674
Statistik ujian
z = (0.2 − 0.34)/0.04674 = −2.995
Jawapan
z = −2.995
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9328
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 274 − 15·99/5 = −23
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2021 − 99²/5 = 60.8
Pekali korelasi
r = −23/√(10·60.8) = −0.9328
Jawapan
r = −0.9328
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 3.481
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 291/5 = 58.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79
Garis regresi
b = 79/10 = 7.9
a = 58.2 − 7.9·3 = 34.5
ŷ = 34.5 + 7.9·x
Selesaikan untuk x
x = (62 − 34.5)/7.9 = 3.481
Jawapan
x = 3.481
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1