Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 32, 44, 10, 33, 21, 42, 13.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 68?
μ = 60σ = 8x = 68
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.25, 0.1, 0.1, 0.2
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X − 3. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = −2X − 3
σY =
5.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 735.2 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735.2 g
P =
6.Taburan normalSukar
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 95% bagi suatu min, berdasarkan 25 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 2.5. Berapakah margin ralat E₂ jika kajian yang sama menggunakan 50 cerapan?
95%n₁ = 25E₁ = 2.5n₂ = 50
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?
p = 0.5E = 0.0190%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 40 bahagian mempunyai min panjang 128.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 11 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 137.2 mm, sisihan piawai diketahui 19 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 40x̄₁ = 128.5 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 40x̄₂ = 137.2 mmσ₂ = 19 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 77.45. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 80μ = 77.45σ = 12n = 64α = 0.10
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 77?
n = 6ŷ = 77
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 13.48
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 195/7 = 27.86
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 4.143² + 16.14² + (−17.86)² + 5.143² + (−6.857)² + 14.14² + (−14.86)² = 1091
Sisihan piawai
s = √(1091/6) = 13.48
Jawapan
s = 13.48
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.8413
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1
Jadual normal piawai
Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 2.348
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.1 + 4·0.1 + 5·0.2 = 2.55
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.1 + 16·0.1 + 25·0.2 = 8.85
Varians
Var(X) = 8.85 − 2.55² = 2.348
Jawapan
Var(X) = 2.348
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 1.609
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
Perubahan linear
σY = |−2|·0.8047 = 1.609
Jawapan
σY = 1.609
Min memang berubah: E(Y) = −2·0.95 − 3 = −4.9.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9332
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
Piawaikan
z = (735.2 − 750)/9.849 = −1.5
Ekor atas
P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332
Jawapan
P = 0.9332
6.Taburan normal
Jawapan: x = 434.2 h
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
Kembali kepada x
x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h
Jawapan
x = 434.2 h
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 1.768
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(25/50) = 0.7071
Margin baharu
E₂ = 2.5·0.7071 = 1.768
Jawapan
E₂ = 1.768
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 6766
Selang keyakinan bagi perkadaran: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), dengan p̂ = x/n. Untuk mencapai margin E anda memerlukan n ≥ z²·p(1 − p)/E², dibundarkan ke atas; tanpa anggaran awal gunakan p = 0.5, yang memberikan n terbesar.
Selesaikan untuk n
n = 1.645²·0.5·0.5/0.01² = 6765
Bundarkan ke atas
n = 6766
Jawapan
n = 6766
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −2.506
Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(11²/40 + 19²/40) = √12.05 = 3.471
Statistik ujian
z = (128.5 − 137.2)/3.471 = −2.506
Jawapan
z = −2.506
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 66.2 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 80 − 1.282·1.5 = 78.08
z di bawah min sebenar
z = (78.08 − 77.45)/1.5 = 0.418
Kuasa
kuasa = P(Z < 0.418) = 66.2%
1 − β = 66.2%
Jawapan
1 − β = 66.2%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9663
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 411/5 = 82.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1755
Pekali korelasi
r = 384/√(90·1755) = 0.9663
Jawapan
r = 0.9663
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 5.959
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 515/6 = 85.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 303
Garis regresi
b = 303/70 = 4.329
a = 85.83 − 4.329·8 = 51.2
ŷ = 51.2 + 4.329·x
Selesaikan untuk x
x = (77 − 51.2)/4.329 = 5.959
Jawapan
x = 5.959
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1