Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 46, 55, 17, 17, 21, 41.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 40. Cari skor-z z bagi skor 550.

μ = 500σ = 40x = 550

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.15, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 10. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.05, 0.25, 0.35, 0.15Y = 5X + 10

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 20.3 dan 33.5 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 20.3x₂ = 33.5

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 38.5 dan sisihan piawai s = 11.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.

n = 16x̄ = 38.5s = 11.595%t(15) = 2.131

E =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 9 petak, min hasil 19 kg, sisihan piawai 4 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 14 kg, sisihan piawai 1 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 19s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 14s₂ = 195%t(15) = 2.131

had atas = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 47.25 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47.25s = 5n = 16

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 1.5 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 15. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 80%δ = 1.5σ = 15z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 15Σy = 273Σx² = 55Σy² = 14959Σxy = 837

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 24.5.

n = 6x = 24.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.57

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 197/6 = 32.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 13.17² + 22.17² + (−15.83)² + (−15.83)² + (−11.83)² + 8.167² = 1373

Sisihan piawai

s = √(1373/5) = 16.57

Jawapan

s = 16.57

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.25

Piawaikan

z = (550 − 500)/40 = 1.25

Jawapan

z = 1.25

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 5.31

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 2·0.3 + 4·0.15 + 6·0.35 = 3.3

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.3 + 16·0.15 + 36·0.35 = 16.2

Varians

Var(X) = 16.2 − 3.3² = 5.31

Jawapan

Var(X) = 5.31

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 6.633

Serakan X

μ = 3.2, Var(X) = 1.76, σ_X = 1.327

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1.327 = 6.633

Jawapan

σ_Y = 6.633

Min memang berubah: E(Y) = 5·3.2 + 10 = 26.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.5731

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (20.3 − 32)/6 = −1.95

z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25

Luas antara

P = Φ(0.25) − Φ(−1.95) = 0.5987 − 0.02559 = 0.5731

Jawapan

P = 0.5731

6.Taburan normal

Jawapan: x = 124.7 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

Kembali kepada x

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 markah

Jawapan

x = 124.67 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 6.127

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.131

Margin ralat

E = 2.131·11.5/√16 = 6.127

Jawapan

E = 6.127

8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 8.106 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (8·4² + 7·1²)/15 = 9

s_p = 3

Margin ralat

E = 2.131·3·√(1/9 + 1/8) = 3.106

Selang

5 ± 3.106 → [1.894, 8.106]

Jawapan

had atas = 8.106 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25

Statistik ujian

t = (47.25 − 50)/1.25 = −2.2

Jawapan

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 619

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 0.842)·15/1.5)² = 618.5

Bundarkan ke atas

n = 619

Jawapan

n = 619

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.7804

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 837 − 15·273/5 = 18

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 14959 − 273²/5 = 53.2

Pekali korelasi

r = 18/√(10·53.2) = 0.7804

Jawapan

r = 0.7804

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 68.33

Min

x̄ = 147/6 = 24.5

ȳ = 410/6 = 68.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 603

Garis regresi

b = 603/157.5 = 3.829

a = 68.33 − 3.829·24.5 = −25.47

ŷ = −25.47 + 3.829·x

Ramalan

ŷ = −25.47 + 3.829·24.5 = 68.33

Jawapan

ŷ = 68.33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1