Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 48, 45, 49, 13, 12.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 160.4?

μ = 170σ = 12x = 160.4

P =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 5 orang boleh dipilih daripada kumpulan 13? Susunan tidak penting.

n = 13k = 5

N =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 8 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 8p = 0.5k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 70 dan 118.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 118.75

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 95% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 75.5 j, sisihan piawai diketahui 7 j. Model 2: 80 telefon, min 78.5 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 75.5 hσ₁ = 7 hn₂ = 80x̄₂ = 78.5 hσ₂ = 13 h99%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 9. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 9E = 195%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 52.83 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52.83s = 15n = 81

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2.5 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 10. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 95%δ = 2.5σ = 10z_α = 1.645z_β = 1.645

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 39) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(4.5, 39)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.14

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 167/5 = 33.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 14.6² + 11.6² + 15.6² + (−20.4)² + (−21.4)² = 1465

Sisihan piawai

s = √(1465/4) = 19.14

Jawapan

s = 19.14

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2119

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 1287

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

Jawapan

N = 1287

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2734

Formula binomial

P(X = 4) = 70·0.5⁴·0.5⁴ = 70·0.0625·0.0625 = 0.2734

Jawapan

P = 0.2734

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8716

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−2) = 0.8944 − 0.02275 = 0.8716

Jawapan

P = 0.8716

6.Taburan normal

Jawapan: x = 434 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.05

z daripada jadual

z ≈ −1.64

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

Jawapan

x = 434 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 4.53 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 75.5 − 78.5 = −3

Ralat piawai

SE = √(7²/50 + 13²/80) = 1.759

Margin ralat

E = 2.576·1.759 = 4.53

Jawapan

E = 4.53 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 312

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·9/1)² = 311.2

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 312

Jawapan

n = 312

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.698

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667

Statistik ujian

t = (52.83 − 50)/1.667 = 1.698

Jawapan

t = 1.698

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 174

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 1.645)·10/2.5)² = 173.2

Bundarkan ke atas

n = 174

Jawapan

n = 174

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9877

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 84/6 = 14

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 88

Pekali penentuan

r² = 78²/(70·88) = 0.9877

Jawapan

r² = 0.9877

Kira-kira 98.77% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.833

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 217/6 = 36.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52.5

Garis regresi

b = 52.5/17.5 = 3

a = 36.17 − 3·4.5 = 22.67

ŷ = 22.67 + 3·x

Nilai ramalan

ŷ = 22.67 + 3·4.5 = 36.17

Reja

e = 39 − 36.17 = 2.833

Jawapan

e = 2.833

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1