Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 39, 21, 55, 59, 49, 36, 48.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 60?

μ = 50σ = 8x = 60

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.1, 0.35

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 10. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.1, 0.2, 0.05Y = 0.5X + 10

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.8365. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.8365

z =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 11 item mempunyai min 18 dan sisihan piawai s = 10. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 11x̄ = 18s = 1099%t(10) = 3.169

E =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 37. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 37E = 0.590%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 19 pelajar, skor min 37, sisihan piawai 10.5. Kumpulan 2: 12 pelajar, skor min 32.3, sisihan piawai 3.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 19x̄₁ = 37s₁ = 10.5n₂ = 12x̄₂ = 32.3s₂ = 3.5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 1.5 unit dengan kuasa 90%. Sisihan piawai ialah 9. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 90%δ = 1.5σ = 9z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 53?

n = 5ŷ = 53

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.94

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 307/7 = 43.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−4.857)² + (−22.86)² + 11.14² + 15.14² + 5.143² + (−7.857)² + 4.143² = 1005

Sisihan piawai

s = √(1005/6) = 12.94

Jawapan

s = 12.94

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8944

Piawaikan

z = 1.25

Jadual normal piawai

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

Jawapan

P = 0.8944

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 12.03

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.25 + 20·0.3 + 30·0.1 + 40·0.35 = 25.5

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.3 + 900·0.1 + 1600·0.35 = 795

Varians

Var(X) = 795 − 25.5² = 144.8

σ = √144.8 = 12.03

Jawapan

σ = 12.03

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 0.6344

Serakan X

μ = 1.3, Var(X) = 1.61, σ_X = 1.269

Perubahan linear

σ_Y = |0.5|·1.269 = 0.6344

Jawapan

σ_Y = 0.6344

Min memang berubah: E(Y) = 0.5·1.3 + 10 = 10.65.

5.Taburan normal

Jawapan: z = −0.98

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.8365 = 0.1635

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.1635 di dalam jadual dan baca z.

z = −0.98

Jawapan

z = −0.98

6.Taburan normal

Jawapan: x = 124.7 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

Kembali kepada x

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 markah

Jawapan

x = 124.67 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 9.555

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 10, t = 3.169

Margin ralat

E = 3.169·10/√11 = 9.555

Jawapan

E = 9.555

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 14819

Selesaikan untuk n

n = (1.645·37/0.5)² = 14818

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 14819

Jawapan

n = 14819

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.491

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (18·10.5² + 11·3.5²)/29 = 73.08

s_p = 8.549

Ralat piawai

SE = 8.549·√(1/19 + 1/12) = 3.152

Statistik ujian

t = (37 − 32.3)/3.152 = 1.491

Jawapan

t = 1.491

Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 469

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 1.282)·9/1.5)² = 468.6

Bundarkan ke atas

n = 469

Jawapan

n = 469

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9801

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 129/6 = 21.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 27.5

Pekali korelasi

r = −21.5/√(17.5·27.5) = −0.9801

Jawapan

r = −0.9801

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 2.486

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 283/5 = 56.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Garis regresi

b = 70/10 = 7

a = 56.6 − 7·3 = 35.6

ŷ = 35.6 + 7·x

Selesaikan untuk x

x = (53 − 35.6)/7 = 2.486

Jawapan

x = 2.486

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1