Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 39, 25, 51, 19, 52, 40.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 190.

μ = 170σ = 20x = 190

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.2, 0.15, 0.25, 0.05

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 5. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.3, 0.15, 0.3Y = −2X + 5

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 50 dan 83 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 83

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 30 telefon, min 108.5 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Model 2: 100 telefon, min 94 j, sisihan piawai diketahui 5 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 108.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 100x̄₂ = 94 hσ₂ = 5 h95%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 20. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 5?

σ = 20E = 590%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 80 bahagian mempunyai min panjang 50 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 20 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 47.2 mm, sisihan piawai diketahui 5 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 80x̄₁ = 50 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 60x̄₂ = 47.2 mmσ₂ = 5 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3? Sisihan piawai ialah 8. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 8E = 395%

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 18?

n = 5ŷ = 18

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.41

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 226/6 = 37.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 1.333² + (−12.67)² + 13.33² + (−18.67)² + 14.33² + 2.333² = 899.3

Sisihan piawai

s = √(899.3/5) = 13.41

Jawapan

s = 13.41

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1

Piawaikan

z = (190 − 170)/20 = 1

Jawapan

z = 1

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.322

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.15 + 4·0.25 + 5·0.05 = 2.45

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.15 + 16·0.25 + 25·0.05 = 7.75

Varians

Var(X) = 7.75 − 2.45² = 1.747

σ = √1.747 = 1.322

Jawapan

σ = 1.322

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 23.24

Serakan X

μ = 25, Var(X) = 135, σ_X = 11.62

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·11.62 = 23.24

Jawapan

σ_Y = 23.24

Min memang berubah: E(Y) = −2·25 + 5 = −45.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8973

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (50 − 65)/10 = −1.5

z₂ = (83 − 65)/10 = 1.8

Luas antara

P = Φ(1.8) − Φ(−1.5) = 0.9641 − 0.06681 = 0.8973

Jawapan

P = 0.8973

6.Taburan normal

Jawapan: x = 87.38 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 markah

Jawapan

x = 87.38 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 7.224 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 108.5 − 94 = 14.5

Ralat piawai

SE = √(20²/30 + 5²/100) = 3.686

Margin ralat

E = 1.96·3.686 = 7.224

Jawapan

E = 7.224 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 44

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·20/5)² = 43.3

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 44

Jawapan

n = 44

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 1.203

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(20²/80 + 5²/60) = √5.417 = 2.327

Statistik ujian

z = (50 − 47.2)/2.327 = 1.203

Jawapan

z = 1.203

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 28

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.96·8/3)² = 27.32

Bundarkan ke atas

n = 28

Jawapan

n = 28

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.8777

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 369/6 = 61.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 179

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 521.5

Pekali penentuan

r² = 179²/(70·521.5) = 0.8777

Jawapan

r² = 0.8777

Kira-kira 87.77% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 3.316

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 93/5 = 18.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Garis regresi

b = −19/10 = −1.9

a = 18.6 − (−1.9)·3 = 24.3

ŷ = 24.3 − 1.9·x

Selesaikan untuk x

x = (18 − 24.3)/(−1.9) = 3.316

Jawapan

x = 3.316

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1